Đến nội dung


Hình ảnh

Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 301 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Các bạn biết là từ đâu rồi đấy :D
  • Sở thích:vinahey :V

Đã gửi 26-04-2021 - 01:15

Đây là bài viết đầu tiên của mình về topo đại số trên diễn đàn, và sẽ là topic mình sẽ tổng hợp lại bài từ cái webinar nho nhỏ của tụi mình trong khoảng thời gian sắp tới. Bài đầu tiên sẽ do mình đăng, các bài sẽ chủ yếu dựa trên quyển Topo đại số của Rotman.

 

Trước hết, mình sẽ trình bày về việc tính toán nhóm $\pi_{1}(S^{1},1)$. Sau đó là một chút về nhóm topo và H - không gian.

 

1, Tính toán nhóm $\pi_{1}(S^{1},1)$

Ta cần chứng minh định lý sau:

 

Định lý 1.1 Cho $X$ là một tập lồi và compact trong $\mathbb{R}^{k}$ và $f:(X,x_{0})\rightarrow (S^{1},1)$ liên tục. Lấy $t_{0}\in \mathbb{Z}$, và kí hiệu $\exp t$ thay cho $e^{2\pi it}$. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ $\widetilde{f}:(X,x_{0})\rightarrow (\mathbb{R},t_{0})$ liên tục mà $\exp \widetilde{f}=f$.

Chứng minh:

+) Vì X là compact nên $f$ phải liên tục đều trên X. Do đó, tồn tại $\epsilon > 0$ mà với mỗi $x,y \in X$ thỏa mãn $||x-y||<\epsilon$ thì $||f(x) - f(y)||< 2$ (khi đó thì $f(x),f(y)$ không đối xứng nhau qua tâm đường tròn, và do đó $f(x)(f(y))^{-1} \neq -1$). Hơn nữa, $X$ bị chặn kéo theo tồn tại số tự nhiên $n$ mà $\frac{||x-y||}{n}< \epsilon$ với mọi $x,y\in X$

+)Với mỗi $x\in X$, ta chia đoạn thẳng nối giữa $x$ và $x_{0}$ bằng các điểm $x_{0},x_{1},...,x_{n} =x$ sao cho thu được $n$ đoạn bằng nhau. Khi đó, $||x_{i}-x_{i+1}||<\epsilon$ nên
    \[g_{j}(x):=f(x_{j})^{-1}f(x_{j+1})\neq -1, \quad \forall 0\leq j \leq n-1.\]
Khi đó, dễ thấy rằng $g_{j}$ liên tục trên $X$. Ta có
    \[        f(x) = f(x_{0})[f(x_{0})^{-1}f(x_{1})][f(x_{1})^{-1}f(x_{2})]...[f(x_{n-1})^{-1}f(x_{n})] = f(x_{0})g_{0}(x)g_{1}(x)...g_{n-1}(x). (1) \]
 Ta hạn chế $\exp t$ trên $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Gọi $\lambda$ là ánh xạ ngược của $\exp t$. Lúc này, ta xác định $\widetilde{f}$ như sau
    \[       \widetilde{f}(x) = t_{0} + \lambda(g_{0}(x)) + \lambda(g_{1}(x)) + ... +\lambda(g_{n-1}(x)).    \]
Vì lúc này $S^{1}-\{-1\}$ đồng phôi với $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ qua ánh xạ $\exp$ nên $\lambda$ là liên tục. Khi đó 
    \[        \exp \widetilde{f}= \prod^{n-1}_{i=0}\exp \lambda(g_{i}(x)) =\prod^{n-1}_{i=0}g_{i}(x).    (2)\]
Hơn nữa vì $f(x_{0})=1$ nên từ $(1)$ và $(2)$ ta có $\exp \widetilde{f} = f$.
+) Bây giờ, đến tính duy nhất của $\widetilde{f}$. Giả sử ánh xạ $g$ cũng thỏa mãn các tính chất của giả thiết. Nhận xét rằng $\widetilde{f}(x)-g(x)\in \mathbb{Z}$ với mọi $x \in X$ và $\widetilde{f}-g$ liên tục trên $(X,x_{0})$, do đó $\widetilde{f}-g$ là hằng trên $X$. Hơn nữa, vì $\widetilde{f}(x_{0})=g(x_{0})= t_{0}$ nên buộc phải có $\widetilde{f}=g$.  $\square$

 

Khi đó $\widetilde{f}$ được gọi là "nâng" của $f$.

 

Hệ quả 1.2 Cho $f: (I,\dot{I})\rightarrow (S^{1},1)$ liên tục.

  • Tồn tại duy nhất ánh xạ liên tục $\widetilde{f}:I\rightarrow \mathbb{R}$ với $\exp \widetilde{f} = f$ và $\widetilde{f}(0)=0$.
  • Nếu $g: (I,\dot{I})\rightarrow (S^{1},1)$ liên tục và $f \simeq g \; rel \, \dot{I}$ thì $\widetilde{f}\simeq \widetilde{g} \; rel \, \dot{I}$ (với $\exp \widetilde{g} = g$ và $\widetilde{g}(0)=0$); hơn nữa, $\widetilde{f}(1) = \widetilde{g}(1)$.

Chứng minh:

Phần thứ nhất của hệ quả được suy ra trực tiếp từ định lý 1.1.

Giả sử $F:I\times I \rightarrow S^{1}$ mà $F:f\simeq g \; rel \, \dot{I}$. Theo Định lý 1.1, tồn tại ánh xạ liên tục $\widetilde{F}:I\times I \rightarrow \mathbb{R}$ mà $\exp \widetilde{F} = F$. Ta sẽ chứng minh rằng $\widetilde{F}: \widetilde{f} \simeq \widetilde{g}\; \text{rel} \, \dot{I}$.

Thật vậy, ta có $\exp \widetilde{F}(x,0)= F(x,0) = f(x)$ và $\widetilde{F}(0,0) = 0 = \widetilde{f}(0)$, nên từ tính duy nhất của $\widetilde{f}$, ta phải có $\widetilde{f}(x)= \widetilde{F}(x,0)$ .

Ta lại có $\exp \widetilde{F}(0,t) = F(0,t)= f(0)=1$ nên $\widetilde{F}(0,t) \in \mathbb{Z}$ với mọi $t\in I$. Mà $h(t):= \widetilde{F}(0,t)$ lại liên tục trên $[0,1]$ nên $h(t)$ phải là hằng số. Do đó $\widetilde{g}(0) = 0= \widetilde{F}(0,0)= h(0) = h(1) = \widetilde{F}(0,1)$.

Tương tự như trên, từ $\exp \widetilde{F}(x,1)= F(x,1) = g(x)$ và $\widetilde{F}(0,1) = 0 = \widetilde{g}(0)$, ta suy ra được $\widetilde{F}(x,1)=\widetilde{g}(x)$.

Hơn nữa $\exp \widetilde{F}(1,t) = F(1,t)= f(1)=1$ nên cũng tương tự như trên ta có $k(t):= \widetilde{F}(1,t)$ là hằng trên $[0,1]$. Vì vậy $\widetilde{g}(1) = \widetilde{F}(1,1)=\widetilde{F}(1,0)=\widetilde{f}(1)$.   $\square$

 

Định nghĩa 1.3 Xét ánh xạ liên tục $f:(I,\dot{I})\rightarrow (S^{1},1)$, khi đó ta kí hiệu

    \[        \deg f := \widetilde{f}(1)    \]
là bậc của f. Với $\widetilde{f}$ là nâng của $f$ thỏa mãn $\widetilde{f}(0)=0$.
 
Nếu ta xét ánh xạ $z\mapsto z^{n}$ thì dễ dàng tính toán được bậc của ánh xạ này là $n$. Điều ấy cũng giải thích được phần nào cho thuật ngữ "bậc". Nói nôm na, bậc của một đường cong đóng trong $S^{1}$ là "số vòng" mà đường cong đó "chạy" quanh $S^{1}$
Định lý sau sẽ cho ta cụ thể cách phân loại các đường cong trong $\pi_{1}(S^{1})$
 
Định lý 1.4 Ánh xạ $d:\pi_{1}(S^{1},1)\rightarrow \mathbb{R}$ xác định bởi $[f]\mapsto \deg f$ là một đẳng cấu.
 
Chứng minh:
Đầu tiên ta chứng minh $\deg f + \deg g = \deg f*g$.
Thật vậy, nếu $h(t)=\widetilde{f*g}(\frac{t}{2})$ thì $h(0)=\widetilde{f*g}=0$ và
    \[        \exp h(t) = \exp \widetilde{f*g}(\frac{t}{2})=f*g(\frac{t}{2}) = f(t), \quad \forall 0\leq t\leq 1.    \]
Do tính duy nhất của $\widetilde{f}$ nên $\widetilde{f}=h$. Do đó $\widetilde{f}(1)=\widetilde{f*g}(\frac{1}{2})$.
Tương tự, đặt $k(t)=\widetilde{f*g}(\frac{t+1}{2})-\widetilde{f}(1)$ thì ta có 
    \[    \exp k(t) = \frac{\exp \widetilde{f*g}((t+1)/2)}{ \exp \widetilde{f}(1)} = \exp \widetilde{f*g}((t+1)/2)= f*g((t+1)/2) = g(t), \: \forall t \in I.    \]
Hơn nữa, $k(0)=\widetilde{f*g}(\frac{1}{2})-\widetilde{f}(1)= \widetilde{f}(1) - \widetilde{f}(1) =0$ nên từ tính duy nhất của $\widetilde{g}$, ta phải có $\widetilde{g}=k$.
Do đó $\widetilde{f*g}(1)-\widetilde{f}(1)=k(1)=\widetilde{g}(1)$.
Nếu có $f\in \pi_{1}(S^{1},1)$ mà $\deg f =0$ thì xét $F:I\times I \rightarrow S^{1}$ xác định bởi $(t,s)\mapsto \exp s\widetilde{f}(t)$. Khi đó, dễ dàng có được $F:\widetilde{f} \simeq k $ với $k$ là ánh xạ hằng tại $1$. Hơn nữa mỗi số nguyên trong $\mathbb{Z}$ đều là bậc của một đường cong đóng trong $S^{1}$ (giả dụ $m\in \mathbb{Z}$ thì xét đường cong $t\mapsto \exp (mt)$) nên buộc $d$ phải là đẳng cấu.  $\square$
 
Khi đó hai hệ quả sau được suy ra trực tiếp từ định lý trên.
Hệ quả 1.5 $S^{1}$ không phải là simply connected.
Hệ quả 1.6 Hai đường đóng trong $S^{1}$ là đồng luân $\text{rel}\, \dot{I}$ nếu và chỉ nếu chúng có cùng bậc.

 

Ta nhắc lại mà không chứng minh kết quả sau:

Định lý 1.7 Giả sử \(\Sigma_{\rho}\subset \mathbb{C}\) là đường tròn tâm 0 bán kính \( \rho\) và kí hiệu \(f^{n}_{\rho}:\Sigma_{\rho} \rightarrow \mathbb{C}-\left\{0\right\}\) là hạn chế của \(z\mapsto z^{n}\) trên \(\Sigma_{\rho}\). Nếu không có ánh xạ \(f^{n}_{\rho}\) nào là null-homotopic thì định lý cơ bản của đại số là đúng.

 

Ta sẽ dùng kết quả trên để chứng minh định lý cơ bản của đại số:

Định lý 1.8 (Định lý cơ bản của đại số) Mọi đa thức khác hằng với hệ số phức thì đều có nghiệm phức.

Chứng minh:

Gọi $\Sigma_{\rho}$ là đường tròn tâm $0$ bán kính $\rho$. Khi đó xét ánh xạ $h:S^{1}\rightarrow \Sigma_{\rho}\rightarrow \mathbb{C}-\left\{0\right\}\rightarrow S^{1}$ hợp bởi $z\mapsto \rho z,\, z\mapsto z^{n},\,\text{và} \,z\mapsto z/||z||$. Ta kiểm tra được $h(z)=z^{n}$.

Khi đó, giả sử tồn tại $\rho$ mà $z\mapsto z^{n}$ hạn chế trên $\Sigma_{\rho}$ là null-homotopic. Từ đó ta có $h$ là null - homotopic. Ta có ánh xạ $h_{*}:\pi_{1}(S^{1},1)\rightarrow \pi_{1}(S^{1},1)$ là trivial và $h_{*}[\exp]=[h\exp]=[\exp^{n}]$. Do đó $[\exp^{n}]$ là null-homotopic (hay là có bậc 0), điều này vô lý bởi vì $[\exp^{n}]$ có bậc $n\geq 1$.   $\square$

 

2, Nhóm topo và H - không gian

Định nghĩa 2.1 Một nhóm G đối với phép nhân được gọi là nhóm topo nếu nó được trang bị cấu trúc topo thỏa mãn ánh xạ $(x,y)\mapsto x.y^{-1}$ là ánh xạ liên tục.

 

Từ đây, ta suy ra được nếu $G$ là một nhóm topo thì $z\mapsto z^{-1}$ và $(x,y)\mapsto x.y$ đều là các ánh xạ liên tục.

 

Định nghĩa 2.2 Một không gian điểm $(X,x_{0})$ được gọi là H - không gian nếu như tồn tại ánh xạ $m:(X\times X,(x_{0},x_{0}))\rightarrow (x,x_{0})$ thỏa mãn $m(x_{0},\quad)$ và $m(\quad,x_{0})$ đồng luân với $1_{X} \, \text{rel}\, \{x_{0}\}$. Khi đó $x_{0}$ được gọi là homotopy identity. 

 

Nhận xét rằng ánh xạ $m$ như trên thỏa mãn $m\circ (k,1_{X})$ và $m\circ (1_{X},k)$ là null - homotopic $\text{rel} \; \{x_{0}\}$ với $k$ là ánh xạ hằng tại $x_{0}$ và $(k,1_{X})$ là ánh xạ biến $x$ thành $(x_{0},x)$
Ta cần sử dụng tính chất sau đây để chứng minh định lý tiếp theo: nếu $G$ và $H$ là hai nhóm có phần tử đơn vị lần lượt là là $1$ và $1'$ thì trong $G\times H$ ta phải có
   \[        (1,x)(y,1')=(x,y)=(x,1')(1,y).\]
 
Định lý 2.3 Nếu $(X,x_{0})$ là một H - không gian thì nhóm $\pi_{1}(X,x_{0})$ là nhóm Abel.
Chứng minh:
Xét đẳng cấu $\theta:\pi_{1}(X,x_{0})\times \pi_{0}(X,x_{0})\rightarrow \pi_{1}(X\times X,(x_{0},x_{0})) $ cho bởi $[(f,g)]\mapsto([f],[g])$. Khi đó nếu $f,g$ là hai đường trong $\pi_{1}(X,x_{0})$ thì
\[ [g]  = [m\circ(k,1_{X})\circ g] = m_{*}[(k,1_{X})\circ [g]]  = m_{*}[(kg,g)] = m_{*}\theta([kg],[g])= m_{*}\theta(e,[g]).\]
Tương tự, ta có $[f]=m_{*}\theta([f],e)$.Vì $m_{*}\theta$ là đồng cấu nên
\[m_{*}\theta([f],[g])  =m_{*}\theta(([f],e).(e,[g])) = m_{*}\theta([f],e).m_{*}\theta(e,[g]) = [f].[g].\]
Nếu ta phân tích $([f],[g]) = (e,[g]).([f],e)$ thì cũng thu được $m_{*}\theta([f],[g])=[g].[f]$ Do đó ta có điều phải chứng minh.  $\square$

 

Hệ quả 2.4 Nhóm $\pi_{1}(G,e)$ với $G$ là một nhóm topo thì là một nhóm Abel.

Chứng minh

Xét $m:\pi_{1}(G\times G,(e,e))\rightarrow (G,e)\times (G,e)$ được xác định bởi $[(f,g)]\mapsto[f].[g]$. Khi đó, ta dễ thấy rằng $(G,e)$ là một H - không gian.

Từ định lý trên, ta có điều phải chứng minh.  $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 26-04-2021 - 01:48

Sống khỏe và sống tốt :D





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh


    Bing (1)