Đến nội dung


Hình ảnh

Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Các bạn biết là từ đâu rồi đấy :D
  • Sở thích:vinahey :V

Đã gửi 26-04-2021 - 01:15

Đây là bài viết đầu tiên của mình về topo đại số trên diễn đàn, và sẽ là topic mình sẽ tổng hợp lại bài từ cái webinar nho nhỏ của tụi mình trong khoảng thời gian sắp tới. Bài đầu tiên sẽ do mình đăng, các bài sẽ chủ yếu dựa trên quyển Topo đại số của Rotman.

 

Trước hết, mình sẽ trình bày về các khái niệm đồng luân, null- homotopic, contractible và topo thương.

 

1. Đồng luân

Định nghĩa 1.1. Xét \(X,Y\) là hai không gian topo và hai ánh xạ liên tục \(f, g: X\rightarrow Y\). Khi đó \(f\) gọi là đồng luân với \(g\) nếu như tồn tại một ánh xạ liên tục \(F: X\times I \rightarrow Y\) mà \(F(x,0) = f(x)\) và \(F(x,1) = g(x)\). Kí hiệu \(f\simeq g\).

Nếu như \(f\) đồng luân với \(g\) thì có thể ví như có thể dời, làm biến dạng từ \(f\) được thành \(g\), và \(f_{t}(x)=F(x,t)\) miêu tả sự "biến dạng" tại thời điểm t.

Ví dụ: Xét \(\gamma_{i}:I\rightarrow \mathbb{C}\) với \(i=0,1\) là hai hàm liên tục mà ảnh của chúng là hai đường cong trong mặt phẳng phức. Nếu ta xét \(F(x,t)=t\gamma_{1}(x)+(1-t)\gamma_{0}(x)\) thì dễ thấy \(\gamma_{0}\simeq \gamma_{1}.\)

image1.png

Bổ đề 1.2. Giả sử không gian X là hợp hữu hạn các tập đóng \(X_i\) và \(f_i\) là các ánh xạ liên tục từ \(X_i\) vào \(Y\) thỏa mãn \(f_i(X_i \cap X_j) = f_j(X_i \cap X_j)\) thì tồn tại duy nhất \(f: X \rightarrow Y\) liên tục mà \(f|X_i = f_i\).

Chứng minh

Hiển nhiên từ X là hợp của các tập \(X_i\) và \(f_i(X_i \cap X_j) = f_j(X_i \cap X_j)\) ta thấy rằng ánh xạ f được xác định duy nhất.

Giả sử C là một tập đóng của Y, khi đó:

  \[ f^{-1}(C) = f^{-1}(\bigcup C \cap f(X_i)) = \bigcup f^{-1}(C \cap f(X_i)) = \bigcup f^{-1}_i(C \cap f_i(X_i)).\]

Vì \(C \cup f_i(X_i)\) đóng trong \(f_i(X_i)\) nên \(C \cup f_i(X_i)\) đóng trong \(X_i\).    $\square$

Từ đó ta có \(f^{-1}(C)\) và suy ra f liên tục.

Định lý 1.3. Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục đi từ X vào Y.

+  Tính phản xạ: Xét \(F(x,t) = f(x) \forall (x,t) \in X\times I\), rõ ràng \(F\) liên tục nên \(f\simeq f\).

+  Tính đối xứng: Nếu \(F(x,t)\) liên tục, \(F(x,0) = f(x)\) và \(F(x,1) = g(x)\) thì \(G(x,t) = F(x,1-t)\) liên tục, \(G(x,0) = F(x,1) = g(x)\) và \(G(x,1) = F(x,1) = f(x)\). Do đó nếu \(f\simeq g\) thì \(g\simeq f\).

+  Tính bắc cầu: Giả sử \(F:f\simeq g\) và \(G:g\simeq h\). Khi đó xác định:

\[H(x,t)=\left\{\begin{matrix} F(x,2t),\quad \forall 0\leq t \leq \frac{1}{2} \\ G(x, 2t -1),\quad \forall \frac{1}{2} \leq t \leq 1.\end{matrix}\right.\]

    

Ta có \(H(x,0) = f(x)\) và \(H(x,1) = g(x)\). Hơn nữa H liên tục là hệ quả trực tiếp từ bổ đề 1.2, do đó \(f\simeq h\).    $\square$

Định nghĩa 1.4. Nếu \(f: X\rightarrow Y\) là ánh xạ liên tục thì lớp tương đương đồng luân được định nghĩa như sau:

   \[ [f]=\{\text{ánh xạ g liên tục từ X vào Y}: f\simeq g\}.\]

Để kết luận rằng đồng luân là một congruence trên \(\textbf{Top}\) thì ta chỉ còn cần chứng minh định lý sau:

Định lý 1.5. Cho \(f_i: Y\rightarrow Z\) và \(g_i: X\rightarrow Y\) với \(i=0,1\) là các ánh xạ liên tục thỏa mãn \(f_0 \simeq f_1\) và \(g_0 \simeq g_1\). Khi đó \([f_0\circ g_0] = [f_1 \circ g_1]\).

Chứng minh

Đầu tiên ta khẳng định rằng \(f_{0}\circ g_{0} \simeq f_{1}\circ g_{0}\).Giả sử \( F:f_{0}\simeq f_{1}\) Xét \(G(x,t)=F(g_0(x),t)\) và C là tập mở trong Y, từ đó ta có \(F^{-1}(C)\) mở trong \(X\times I\).

Khi đó \(X\times I\) có cơ sở là \(U\times V\) với U và V lần lượt là tập mở trong X và trong I. Hơn nữa, nếu đặt \(h(x,t)=(g_0(x),t)\) thì \(G=F\circ h\) và:

      \[ h^{-1}(U\times V)= \bigcup_{t\in V}h^{-1}(U\times \{t\}) =\bigcup_{t\in V}g^{-1}_{0}(U)\times\{t\} = g^{-1}_{0}(U)\times V \]

mở trong\(X\times I\).

Do đó G là một ánh xạ liên tục, từ đó dễ dàng suy ra \(f_{0}\circ g_{0} \simeq f_{1}\circ g_{0}\). Tương tự, ta cũng có \(f_{1}\circ g_{0} \simeq f_{1}\circ g_{1}\) và định lý được chứng minh.    $\square$

Hệ quả 1.6. Đồng luân là một congruence trên $\textbf{Top}$

Khi đó ta xây dựng được một phạm trù thương trên \(\textbf{Top}\) với \(Hom(X,Y)=[X,Y]\) và phép hợp hai cấu xạ \([f]\circ [g]=[f\circ g]\).

Phạm trù thương được xác định như trên được gọi là phạm trù thương đồng luân, và được kí hiệu là \(\textbf{hTop}\).

2. Null-homotopic và định lý cơ bản của đại số

Định nghĩa 2.1. Ánh xạ k được gọi là ánh xạ hằng trên $X$ nếu tồn tại \(y\in Y\) sao cho \(k(x)=y\) với mọi \(x\in X\). Một ánh xạ \(f:X\rightarrow Y\) liên tục được gọi là null-homotopic nếu tồn tại ánh xạ hằng \(k\) trên $X$ mà \(f\simeq k\).

Nói cách khác, một ánh xạ $f$ là null-homotopic nếu như nó "co được" về một điểm.

Định lý 2.2. Cho \(f:\mathbb{S}^{n}\rightarrow Y\) là ánh xạ liên tục vào không gian Y nào đó. Các điều kiện sau là tương đương:

  1. f là null-homotopic
  2. f có thể thác triển thành một ánh xạ liên tục \(g:\mathbb{D}^{n}\rightarrow Y\)
  3. Nếu \(x_0 \in S^{n}\) và \(k:\mathbb{S}^{n}\rightarrow Y\) là ánh xạ hằng tại \(f(x_0)\) thì tồn tại một đồng luân \(F:f\simeq k\) với \(F(x_0,t) = f(x_0)\) với mọi \(t\in  I\)

Chứng minh

     \((1) \Rightarrow (2)\): Xét \(F: f\simeq k\) với k là ánh xạ hằng, \(k(x)=a\) với mọi $x$. Định nghĩa:

\[g(x)=\left\{\begin{matrix} a, \quad \forall 0\leq ||x|| \leq \frac{1}{2} \\F\big(\frac{x}{||x||},2-2||x||\big),\quad \forall \frac{1}{2}\leq ||x|| \leq 1.\end{matrix}\right.\]

 Dễ thấy rằng \(g\) liên tục nhờ bổ đề 0.2

     \((2)\Rightarrow (3)\):Xét \(F(x,t) = g((1-t)x + tx_{0})\). Ta kiểm tra lại được rằng F liên tục, \(F(x,0) =f(x)\) và \(F(x,1) = f(x_{0}\) nên \(F: f\simeq k\). Hơn nữa \(F(x_0,t)=g(x_{0})=f(x_{0})\)

  \((3)\Rightarrow (1)\): Hiển nhiên.    $\square$

Định lý 2.3. Giả sử \(\Sigma_{\rho}\subset \mathbb{C}\) là đường tròn tâm 0 bán kính \( \rho\) và kí hiệu \(f^{n}_{\rho}:\Sigma_{\rho} \rightarrow \mathbb{C}-\{0\}\) là hạn chế của \(z\mapsto z^{n}\) trên \(\Sigma_{\rho}\). Nếu không có ánh xạ \(f^{n}_{\rho}\) nào là null-homotopic thì định lý cơ bản của đại số là đúng.

Chứng minh

+) Xét đa thức \(g(x)= x^{n}+...+a_{0}\). Ta xây dựng ánh xạ đồng luân giữa \(g\) hạn chế trên \(\Sigma_{\rho}\) và \(\rho >0\) nào đó và \(f^{n}_{\rho}\) sau:

      \[  F(x,t)= x^{n}+ (1-t)(a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}). \]

 Khi đó rõ ràng \(F\) liên tục, \(F(x,0)= g(x)\) và \(F(x,1) =f^{n}_{\rho}(x)\). Giờ ta chỉ cần chứng minh \(g_{t}(x) := F(x,t)\) nằm hoàn toàn trong \(\mathbb{C}-\{0\}\) là xong.

 Thật vậy, chọn \(\rho\) sao cho \(\rho > 1 + max_{1\leq i\leq n}\big|a_{i}\big|\). Giả sử tồn tại x,t mà \(F(x,t)=0\), ta có:

\[\begin{matrix} \rho^n=|x|^n=(1-t)|a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}|\\ \leq|a_{n-1}||x|^{n-1}+...+|a_{0}|\\ \leq \rho (|x|^{n-1}+...+|x|+1)= \rho^{n} + ... + \rho . \end{matrix}\]

Điều này không thể xảy ra vì \(\rho >0\).

+) Giả sử \(g\) không có nghiệm phức, khi đó xét \(G(x,t)=g((1-t)x)\). Vì \(g\) không có nghiệm phức nên \(G\) nằm hoàn toàn trong \(\mathbb{C}-\{0\}\). Dễ thấy rằng \(G:g|\Sigma_{\rho}\simeq k\) với \(k:z\mapsto a_{0}\). Do đó ta phải có \(f^{n}_{\rho}\simeq k\), tức \(f^{n}_{\rho}\) là null - homotopic.

    Điều này mâu thuẫn với điều ta giả sử.    $\square$

3. Contractible và không gian thương

Định nghĩa 2.4. Tập con $X$ của \(\mathbb{R}^{n}\) được gọi là lồi nếu với mọi \(x,y\in X\) và \(t\in I\) thì \(tx+(1-t)y\in X\).

Định nghĩa 2.5. $X$ được gọi là contractible nếu \(1_{X}\) là null-homotopic.

Một cách không chặt chẽ, ta có thể nói rằng không gian $X$ là contractible nếu nó "co được" về một điểm.

Screenshot_20210312-203145_Drive.jpg

 

Định lý 2.6. Nếu $X$ lồi thì $X$ cũng là contractible.

Chứng minh

     Xét \(x_{0}\in X\) và \(F(x,t)=tx + (1-t)x_{0}\), vì X lồi nên ta luôn có \(tx+(1-t)x_{0}\in X\). Khi đó dễ thấy rằng \(F:1_{X}\simeq k\) với k là ánh xạ hằng trên X và \(k(x)=x_{0}\) .    $\square$

Định nghĩa 2.7.  Xét $X$ là một không gian topo và \(Y=\{X_{i}\}\) là một phân hoạch của $X$. Lúc này, ánh xạ tự nhiên của $X$ là \(v:X\rightarrow Y\) được xác định bởi \(v(x)=X_{i}\) và topo trên $Y$ gồm họ các tập $U$ mà \(v^{-1}(U)\) mở trong $X$ được gọi là topo thương trên $Y$.

Ta quan tâm hai trường hợp đặc biệt sau đây:

  + Nếu xét $A$ là một tập con của $X$ thì phân hoạch của $X$, kí hiệu là $X/A$ gồm các tập con một phần tử của \(X-A\) và chính tập $A$. Khi đó không gian thương $X/A$ được tạo bởi "chập" các điểm của $A$ trong $X$ thành một điểm

  + Trường hợp thứ hai là xét một quan hệ tương đương \(\sim\) trên $X$ và phân hoạch $Y$ chính là họ các lớp tương đương của quan hệ \(\sim\). Khi đó ánh xạ $v$ được xác định bởi \(v:x\mapsto [x]\) Không gian thương trên $Y$ khi đó được kí hiệu bởi \(X/\sim\) .

186520827_236052394954502_716096317131482113_n.png

Ví dụ:

Ta xét một ví dụ về topo thương sử dụng quan hệ tương đương, đặt \(X=I\times I\) và xác định \(\sim\) là quan hệ tương đương mà \((x,0)\sim (x,1)\). Khi đó \(X/\sim\) sẽ đồng phôi với một cái ống \(S^{1}\times I\). Hơn nữa, nếu $\sim$ thỏa mãn $(1,y)\sim (0,y)$ thì $X/\sim$ sẽ đồng phôi với một hình xuyến (torus) $S^{1}\times S^{1}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 25-06-2021 - 01:50

Sống khỏe và sống tốt :D


#2 Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Các bạn biết là từ đâu rồi đấy :D
  • Sở thích:vinahey :V

Đã gửi 23-06-2021 - 13:36

1.Liên thông đường

Định nghĩa 1.1 Một đường trong $X$ là một ánh xạ liên tục $f:I\rightarrow X$. Nếu $f(0)=a$ và $f(1)=b$, ta nói $f$ là một đường từ $a$ đến $b$.

Định nghĩa 2.1 Một không gian $X$ được gọi là liên thông đường nếu, với mọi $a,b\in X$, tồn tại một đường trong $X$ từ $a$ đến $b$.

Định lý 1.3 Nếu $X$ liên thông đường thì $X$ liên thông.

Chứng minh

Nếu $X$ không liên thông thì tồn tại $A,B\neq \varnothing$ là các tập mở trong $X$ sao cho $A\cap B = \varnothing$ và $A\cup B=X$. Lấy $a\in A$ và $b\in B$, xét $f:I\rightarrow X$ là một đường từ $a$ đến $b$. Ta có

\[ f(I)=(A\cap f(I))\cup (B\cap f(I)).\]

Do đó $f(I)$ không liên thông. Điều này mâu thuẫn vì $f(I)$ phải liên thông.     $\square$

Định lý 1.4 Nếu $f:X\rightarrow Y$ liên tục và $X$ liên thông đường, thì $f(X)$ liên thông đường.

Chứng minh

Ta có, với mỗi $y_{1}$, $y_{2}$ $\in f(X)$ thì tồn tại $x_{1}$, $x_{2}$ $\in X$ sao cho $f(x_{1})=y_{1}$, $f(x_{2})=y_{2}$. Do $X$ liên thông đường nên tồn tại $h:I\rightarrow X$ liên tục sao cho $h(0)=x_{1}$, $h(1)=x_{2}$. Xét hàm $g=f \circ h$, khi đó $g:I\rightarrow Y$ liên tục và $g(0)=y_{1}$, $g(1)=y_{2}$ nên $f(X)$ liên thông đường.    $\square$

 

2. Thành phần đường

Định lý 2.1 Nếu $X$ là một không gian topo, thì quan hệ hai ngôi $\sim$ trên $X$ xác định bởi "$a\sim b$ nếu và chỉ nếu có một đường trong $X$ từ $a$ đến $b$" là một quan hệ tương đương.

Chứng minh

  • Tính phản xạ: Nếu $a\in X$, hàm hằng $f:I\rightarrow X$ với $f(x)=a$ $\forall x\in I$ là một đường từ $a$ đến $a$.
  •  Tính đối xứng: Nếu $f:I\rightarrow X$ là một đường từ $a$ đến $b$, thì $g:I\rightarrow X$ sao cho $g(x)=f(1-x)$ $\forall x \in I$ là một đường từ $b$ đến $a$.
  •  Tính bắc cầu: Nếu $f$ là một đường từ $a$ đến $b$ và $g$ là một đường từ $b$ đến $c$ thì $h:I\rightarrow X$ xác định bởi:

      \[  h(t)= \begin{cases} f(2t) \ \text{nếu}\ 0\leq t\leq 1/2 \\ g(2t-1) \ \text{nếu}\ 1/2 \leq t\leq 1.\end{cases}\]

    khi đó $h$ liên tục nên $h$ là đường từ $a$ đến $c$.   $\square$

Định nghĩa 2.2 Các lớp tương đương trong $X$ xác định dưới quan hệ tương đương $\sim$ trong định lí trên được gọi là các thành phần đường trong $X$.

Các thành phần đường của $X$ là các tập con liên thông đường lớn nhất của nó. Hơn nữa, mọi tập con liên thông đường của $X$ là tập con của một thành phần đường duy nhất của $X$.

Định nghĩa 2.3 Ta sẽ kí hiệu tập các thành phần đường trong $X$ là $\pi_{0}(X)$. Đồng thời xác định $\pi_{0}(f):\pi_{0}(X)\rightarrow \pi_{0}(Y)$ là ánh xạ biến mỗi thành phần đường $C\subset X$ thành một thành phần đường của $Y$ chứa $f(C)$.

Định nghĩa ánh xạ $\pi_{0}(f)$ ở trên là một định nghĩa tốt do ảnh của một tập liên thông đường qua một ánh xạ liên tục cũng là một tập liên thông đường, hơn nữa chỉ có duy nhất một thành phần đường $Y$ chứa $f(C)$.

Định lý 2.4 $\pi_{0}:\textbf{Top} \rightarrow \textbf{Sets}$ là một hàm tử. Hơn nữa, nếu $f\simeq g$, thì $\pi_{0}(f)=\pi_{0}(g)$.

Chứng minh

Chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng $\pi_{0}$ bảo toàn phần tử đơn vị và bảo toàn phép hợp thành, từ đó kết luận được $\pi_{0}$ là một hàm tử.

Nếu $f\simeq g$ thì tồn tại $F:X\times I\rightarrow Y$ liên tục sao cho $F(x,0)=f(x)\forall x\in X$ và $F(x,1)=g(x)\forall x\in X$. Nếu $C$ là thành phần đường của $X$ thì $C\times I$ là liên thông đường, nên $F(C\times I)$ là liên thông đường. Ta có:

    \[ f(C)=F(C\times {0})\subset F(C\times I)\quad \text{và} \quad F(C\times I)\supset F(C\times {1})=g(C).\]

 Khi đó, thành phần đường $Y$ chứa $F(C\times I)$ cũng chứa $f(C)$ và $g(C)$. Vậy nên $\pi_{0}(f)=\pi_{0}(g)$.    $\square$

Hệ quả 2.5 Nếu $X$ và $Y$ có cùng dạng đồng luân thì $\pi_{0}(X)$ đẳng cấu với $\pi_{0}(Y)$.

Định nghĩa 2.6  Một không gian $X$ được gọi là liên thông đường địa phương nếu, $\forall x\in X$ và mọi lân cận mở $U$ chứa $x$, tồn tại một tập mở V với $x\in V\subset U$ sao cho bất kì hai điểm nào trong $V$ cũng có một đường trong $U$ đi từ điểm này đến điểm kia. 

Định lý 2.7 Một không gian $X$ là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu các thành phần đường của một taappj mở là tập mở. Nói riêng, nếu $X$ liên thông đường địa phương thì các thành phần đường của nó đều mở.

Chứng minh

Giả sử $X$ là liên thông đường địa phương và $U$ là một tập mở trong $X$. Lấy $C$ là một thành phần đường trong $U$, và với mỗi $x\in C$ tồn tại một tập mở $V$ sao cho $x\in V\subset U$ thỏa mãn với mỗi điểm trong $V$ thì đều có một đường từ điểm đó tới $x$ trong $U$. Vì thế mỗi điểm trong $V$ đều thuộc cùng một thành phần đường chứa $x$ nên $V\subset C$. Vậy, $C$ mở.

Ngược lại, cho $U$ là một tập mở trong $X$, với $x\in U$, gọi $V$ là thành phần đường của $x$ trong $U$. Theo giả thiết $V$ mở. Vậy nên $X$ là liên thông đường địa phương.      $\square$

Hệ quả 2.8  $X $ liên thông đường địa phương nếu vầ chỉ nếu, với mỗi $x\in X$ và với mỗi lân cận mở $U$ của $x$ tồn tại một tập mở liên thông đường $V$ sao cho $x\in V\subset U$.

Hệ quả 2.9 Nếu $X$ liên thông đường đại phương thì các thành phần của mỗi tập mở trùng với các thành phần đường của nó. Đặc biệt, các thành phần của $X$ trùng với các thành phần đường của $X$.

Hệ quả 2.10 Nếu $X$ liên thông và $X$ liên thông đường địa phương thì $X$ liên thông đường.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 25-06-2021 - 00:45

  • Lemonjuice yêu thích

Sống khỏe và sống tốt :D


#3 gosh

gosh

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:paris
  • Sở thích:cafe'

Đã gửi 25-06-2021 - 01:37

1. Groupoid cơ bản

 

Định nghĩa 1.1. Cho $f,g:I\rightarrow X$ là các đường với $f(1)=g(0)$. Định nghĩa đường $f*g:I\rightarrow X$ như sau:

 

            $(f*g)(t)= \left\{\begin{matrix} f(2t) & với \ 0\leq t\leq \frac{1}{2}; \\ g(2t-1) & với \  \frac{1}{2}\leq t \leq 1. \end{matrix}\right.$

      

Bài toán. Nếu không gian $X$ contractible và $Y$ liên thông đường thì hai ánh xạ liên tục bất kỳ $X\rightarrow Y$ là đồng luân và mỗi ánh xạ đó đều là null-homotopic.

Chứng minh.

        Vì $X$ contractible nên $1_x\simeq k$ với $k:X\rightarrow X$ là một ánh xạ hằng.

        Lấy $f,g:X\rightarrow Y$ là hai ánh xạ liên tục, ta có:\\

        $f= 1_X\circ f \simeq k\circ f \simeq k_1 \text{ với } k_1:X\rightarrow Y$ là ánh xạ hằng biến tất cả các phần tử của $X$ thành $y_1$; 

        $g= 1_X\circ g \simeq k\circ g \simeq k_2 \text{ với } k_2:X\rightarrow Y$ là ánh xạ hằng biến tất cả các phần tử của $X$ thành $y_2$.

        Ta cần chứng minh $k_1\simeq k_2$.

        Do $Y$ là liên thông đường nên tồn tại một đường $h:I\rightarrow Y$ với $h(0)=y_1$ và $h_1=y_2$.

        Ta xây dựng đồng luân $F:X\times I\rightarrow Y$ mà $F(x,t)=h(t)$ với mọi $t\in [0,1]$ và $x\in X$.

 

Định nghĩa 1.2. Cho $A\subset X$ và $f_0,f_1:x\rightarrow Y$ là các ánh xạ liên tục với $f_0|A=f_1|A$. Ta viết $$f_0\simeq f_1\ \text{rel}\ A$$ nếu tồn tại một đồng luân $F:f_0 \simeq f_1$ mà  $F(a,t)=f_0(a)=f_1(a)\ \text{với mọi}\ a\in A\ \text{và mọi}\ t\in \textbf{I}$.

Đồng luân $F$ được gọi là đồng luân tương đối (đồng luân rel $A$).

Nhận xét: Quan hệ đồng luân rel $A$ là một quan hệ tương đương.

 

Định nghĩa 1.3. Cho $\dot{\textbf{I}}=\left\{0,1 \right\}$. Lớp tương đương của đường $f:I\rightarrow X\ \textit{rel}\ \dot{\textbf{I}}$ được gọi là lớp đường của $f$ và ký hiệu là $[f]$.

pathhomotopy.png

 

 

Định lý 1.4. Giả sử $f_0,f_1,g_0,g_1$ là các đường trong $X$ với $f_0\simeq f_1\text{rel} \ \dot{\textbf{I}}\ \text{và} \ g_0\simeq g_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}.$

Nếu $f_0(1)=f_1(1)=g_0(0)=g_1(0)$ thì $f_0*g_0\simeq f_1*g_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}. $

Chứng minh.

        Với đồng luân tương đối $F:f_0\simeq f_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}} $ và $G:g_0\simeq g_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}$, ta xây dựng được đồng luân tương đối $H:f_0*g_0\simeq f_1*g_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}$ như sau:

        $H(t,s)=\left\{\begin{matrix} F(2t,s) & với \ 0\leq t \leq \frac{1}{2} \\ G(21-1,s) & với \ \frac{1}{2}\leq t \leq 1. \end{matrix}\right .$

        tich.png
 

Định nghĩa 1.5. Nếu $f:\textbf{I} \rightarrow X$ là một đường từ $x_0$ đến $x_1$, ta gọi $x_0$ là \textbf{điểm đầu} của $f$ ($x_0=\alpha(f)$) và $x_1$ là điểm cuối của $f$ ($x_1=\omega(f)$).

 Một đường được gọi là một đường đóng nếu nó có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

 

Định nghĩa 1.6. Nếu $p\in X$ thì hàm hằng $i_p:\textbf{I}\rightarrow X$ với $i_p(t)=p$ với mọi $t \in \textbf{I}$ được gọi là đường hằng tại $p$.

 Nếu $f:\textbf{I}\rightarrow X$ là một đường thì ta định nghĩa đường nghịch đảo $f^{-1}:\textbf{I}\rightarrow X$ ($t\mapsto f(1-t))$.

 

Nhận xét: Nếu $f$ là đường đóng thì ta có

        $f*f^{-1}(t)=\left\{\begin{matrix} f(2t) & với \ 0\leq t\leq \frac{1}{2} \\ f(2-2t) & với \ \frac{1}{2}\leq t \leq 1 \end{matrix}\right.$

        $f^{-1}*f(t)=\left\{\begin{matrix} f(1-2t) & với \ 0\leq t\leq \dfrac{1}{2}\\ f(2t-1) & với \ \dfrac{1}{2}\leq t \leq 1. \end{matrix}\right.$

Khi đó, $f*f^{-1}\neq f^{-1}*f$.

 

Định lý 1.7. Nếu $X$ là một không gian thì tập các lớp đường trong $X$ cùng với phép toán $[f][g]=[f*g]$ tạo thành một hệ thống đại số (được gọi là groupoid) thỏa mãn các tính chất sau:

            (i) mỗi lớp đường $[f]$ với điểm đầu $\alpha[f]=p\in X$ và điểm cuối$ \omega[f]=q\in X$ thì $[i_p][f]=[f]=[f][i_q];$

            (ii) tính chất kết hợp khi có thể; 

            (iii) nếu $p=\alpha[f]$ và $q=\omega[f]$ thì $[f][f^{-1}]=[i_p]\ \text{và} \ [f^{-1}][f]=[i_q].$

Chứng minh.

        (i)i.png

        Ta chỉ cần chứng minh $i_p*f\simeq f  \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}$, còn lại tương tự.

        Phương trình đoạn thẳng nối điểm $(0,1)$ với $(\frac{1}{2},0)$ là $2s=1-t$.

        Với mỗi $t\in [0,1]$ cố định, định nghĩa một ánh xạ affine: $\theta_t:[\frac{1-t}{2},1]\rightarrow [0,1]$ nối các điểm mút của hai đoạn đó.

        Ta xây dựng đồng luân $H:i_p*f\simeq f\text{ rel}\ \dot{\textbf{I}}$  như sau:

 

        $H(s,t)=\left\{\begin{matrix} p \ với \ 2s\leq 1-t \\ f(\theta_t(s)) với \ 2s \geq 1-t. \end{matrix}\right .$

 

        (ii)ii.png

        Phương trình đoạn thẳng nối $(\frac{1}{2},0)$ và $(\frac{1}{4},1)$ là $s=\frac{2-t}{4}$.

        Phương trình đoạn thẳng nối $(\frac{3}{4},0)$ và $(\frac{1}{2},1)$ là $s=\frac{3-t}{4}$.

        Tương tự (i), với mỗi $t\in [0,1]$, ta xây dựng ánh xạ affine: $\theta_{1t}:[0,\frac{2-t}{4}]\rightarrow [0,1]$;

        $\theta_{2t}:[\frac{2-t}{4},\frac{3-t}{4}]\rightarrow [0,1]$;

        $\theta_{1t}:[\frac{3-t}{4},1]\rightarrow [0,1]$.

        Ta xây dựng đồng luân $H:(f*g)*h\simeq f*(h*g)\text{ rel}\ \dot{\textbf{I}}$  như sau:

 

        $H(s,t)=\left\{\begin{matrix} f(\theta_{1t}(s)) \ với\ s\in[0,\frac{2-t}{4}] \\ g(\theta_{2t}(s)) \ với \ s\in [\frac{2-t}{4},\frac{3-t}{4}] \\ h(\theta_{3t}(s)) \ với \ s\in [\frac{3-t}{4},1] \end{matrix}\right.$

 

        (iii) Ta chỉ cần chứng minh $f*f^{-1}\simeq i_p\text{ rel}\ \dot{\textbf{I}}$, còn lại tương tự.

        xây dưng đồng luân $H:f*f^{-1}\simeq i_p\text{ rel}\ \dot{\textbf{I}}$ như sau:

 

        $H(s,t)=\left\{\begin{matrix} f(2s(1-t)) \ với \ s\in [0,\frac{1}{2}] \\ f(2(1-s)(1-t)) \ với\ s \in [\frac{1}{2},1]. \end{matrix}\right .$

 

Định nghĩa 1.8. Cố định một điểm $x_0\in X$ và gọi điểm đó là điểm nền. Nhóm cơ bản của $X$ với điểm nền $x_0$ là

               $$\pi_1(X,x_0)=\left\{[f]: [f]\ là \ lớp \ đường \ trong \ X với \alpha[f]=x_0=\omega[f] \right\}$$

cùng với phép toán $[f][g]=[f*g]$.

 

       

 2. Hàm tử $\pi_1$

Đinh lý 2.1.  $\pi_1:\mathbf{Top_*}\rightarrow\mathbf{Group}$ là một hàm tử. Hơn nữa, nếu $h,k:(X,x_o)\rightarrow(Y,y_0)$ và $h\simeq k\ \text{rel}\left \{x_0\right \}$ thì $\pi_1(h)=\pi_1(k)$.

Untitled.png

 

Định lí 2.2. Nếu $X$ là không gian liên thông đường và $x_0,x_1\in X$, thì $\pi_1(X,x_0)\cong \pi_1(X,x_1).$

Chứng minh:

         Lấy $\gamma$ là đường trong $X$ đi từ $x_0$ đến $x_1$. Xác định đồng cấu $\phi:\pi_1(X,x_0)\rightarrow\pi_1(X,x_1)$ ($[f]\mapsto [\gamma^{-1}][f][\gamma]$. Sử dụng định lí 1.7 suy ra $\phi$ là một đẳng cấu.

        hinh1.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gosh: 25-06-2021 - 20:38

  • bangbang1412 và Lemonjuice thích

mh.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh