V. Các "thay thế" bởi đối đồng điều của Hasse và Weil
Để hiểu tại sao Weil đã có thể đi tới những khái niệm như vậy, ta phải quay lại chứng minh của Hasse cho các đường cong giống $1$ trên $\mathbb{F}_q$. Trong lý thuyết cổ điển của các đường cong không suy biến trên trường số phức, với một đường cong $C$ ta định nghĩa jacobian $J = J(C)$, có thể xem như đối ngẫu Pontrjagin của nhóm đồng điều $H_1(C,\mathbb{Z})$; đối ngẫu này được cho bởi dạng song tuyến tính $(\gamma,\omega) \mapsto \int_{\gamma}\omega$ định nghĩa trên các chu trình $\gamma$ và các dạng vi phân abel chỉnh hình $\omega$ trên diện Riemann $C$ ("chu kỳ" của $\omega$ trên $\gamma$). Nếu $C$ có giống $g$ thì $J(C)$ là một xuyến phức $\mathbb{C}^g/\Delta$ trong đó $\Delta$ là một nhóm rời rạc với hạng $2g$, thỏa mãn điều kiện song tuyến tính Riemann cổ điển. Ta có thể định nghĩa $J$ một cách đại số, bằng cách xét các nhóm cộng $G/G_i$ của các lớp của các ước bậc $0$ trên $C$, chia thương cho quan hệ tuyến tính: ta gắn mỗi ước $D$ bậc $0$, vốn có thể viết dưới dạng $\partial \gamma$ với $1$-xích $\gamma$ trên diện Riemann, một lớp $\phi(D)$ trong $\mathbb{C}^g/\Delta$ của vector $\left(\int_{\gamma}\gamma_1,...\int_{\gamma}\omega_g\right)$, trong đó các $\omega_j$ lập thành một cơ sở của không gian các dạng vi phân chỉnh hình; định lý Abel-Jacobi nói rằng phép tương ứng này là toàn ánh và có hạt nhân $G_i$. Từ đó ta có thể xem $J$ như một nhóm đại số (một trường hợp cụ thể của nhóm đại số trên $\mathbb{C}$ là các đa tạp abel) với sự giúp đỡ của (siêu việt) điều kiện song tuyến tính Riemann. Cuối cùng, nếu $x_0$ là một điểm trên $C$,
$$x \mapsto \phi((x) - (x_0))$$
là một cấu xạ từ $C$ vào $J$ và là đẳng cấu nếu $g=1$.
Phương pháp đầu tiên của Hasse để làm việc với các đường cong $C$ mà $g=1$ xác định trên $\mathbb{F}_q$ là "nâng" $C$ thành một đường cong $C_0$ "cổ điển" xác định trên $\mathbb{Q}$: nếu $E$ là trường các hàm hữu tỷ trên $C$, ông chứng minh rằng ta có thể xác định $C_0$ bằng cách, nếu $\omega_1,\omega_2$ là các hàm chu kì của các hàm elliptic ứng với $C_0$ (nên trường $E_0$ của các hàm này là trường các hàm hữu tỷ trên $C_0$), $\omega_1/\omega_2$ "nên" sinh ra một trường ảo quadratic $K$ trên $\mathbb{Q}$ và $E$ sẽ là trường thặng dư của vành các số nguyên của $K$ modulo một ideal nguyên tố nào đó của vành. Hasse từ đó đã dùng các kết quả cổ điển về "các phép nhân phức" của $C_0$ (i.e. tự đồng cấu của jacobian $J(C_0)$) để xác định số điểm của $C$ với bậc $1$, do đó kết thúc chứng minh "giả thuyết Riemann" cho $C$.
Một thời gian sau, Hasse đưa ra một phương pháp có tính bản chất hơn: như đã nói, $J(C)$ có thể định nghĩa một cách đại số như một nhóm "trừu tượng", và cấu xạ Frobenius có thể xem như một tự đồng cấu của nhóm này; Hasse chứng minh rằng tử số của hàm zêta $Z_C$ trong $(10)$ (trong trường hợp này là một đa thức bậc $2$) chính là đa thức đặc trưng của tự đồng cấu Frobenius. Công cụ chính cho phương pháp này là số nguyên $v(\lambda)$ liên kết với mỗi tự đồng cấu $\lambda$ của $J(C)$: nếu $E$ là trường các hàm hữu tỷ của $C$, $\lambda$ định nghĩa một "đối cấu xạ" $R(\lambda)$ - một tự đẳng cấu của $E$ và $v(\lambda)$ là bậc $[E:R(\lambda)(E)]$, hữu hạn nếu $\lambda$ là toàn cấu. Hasse chứng minh rằng với mọi số nguyên $a,b$ thì
$$v(a.1 + b.\lambda) = a^2 + \sigma(\lambda)ab + v(\lambda)b^2$$ với mọi tự đồng cấu toàn ánh $\lambda$ của $J(C)$, tính xác định dương của dạng song tuyến tính này đưa ra chứng minh cho "giả thuyết Riemann."
Rất khó để mở rộng theo một cách hiển nhiên phương pháp của Hasse cho các đường cong giống $1$ lên các đường cong giống $g$ xác định trên $\mathbb{F}_q$: lý thuyết cổ điển chứng minh được rằng $J(C)$ "nên" là một nhóm đại số $g$ chiều (thay vì đẳng cấu với $C$ như trong trường hợp $g=1$ của Hasse), và cho tới tận năm $1940$ không ai mở rộng hình học đại số trên trường đặc số $p>0$ lý thuyết của các nhóm đại số, và nói riêng lý thuyết của các đa tạp abel. Chỉ một mình A. Weil đã làm điều này, người đặt viên gạch đầu tiên, trong cuốn Foundations of algebraic geometry, cho các tính chất cơ bản của các số giao (intersection numbers) độc lập với những gì có trong tôpô đại số. Bằng cách này ông đã có thể nghiên cứu cấu trúc vành của các tự đồng cấu của một đa tạp abel $A$; với mọi tự đồng cấu toàn ánh $\lambda$ của $A$, Weil định nghĩa số nguyên $v(\lambda)$ như Hasse (bây giờ $E$ là trường các hàm hữu tỷ trên $A$) và chứng minh
$$v(a.1 + b.\lambda) = a^{2g} + \sigma(\lambda)a^{2g-1}b +...+ v(\lambda)b^{2g}.$$
Bây biến $\sigma(\lambda)$ được xem như một "thay thế" cho $\mathrm{Tr}(f^{(1)})$ khi $\lambda$ là tự đồng cấu của $J(C)$ ứng với một cấu xạ $f$ của $C$. Một "phương án thay thế" cho đối ngẫu Poincaré được phát hiện trong một đối ngẫu tổng quát cho các đa tạp abel, có thể định nghĩa nghĩa hoàn toàn đại số (trong trường hợp cổ điển người ta định nghĩa nó bởi đối ngẫu Pontrjagin); cuối cùng, nếu $\lambda'$ là "chuyển vị" của một tự đồng cấu $\lambda$ trong đối ngẫu này thì ta có thể chứng minh $\sigma(\lambda \lambda') > 0$ với $\lambda \neq 0$, tính chất này (xem như một "thay thế" cho tính xác định dương của phép nhân vô hướng Hodge) cho phép Weil đưa ra chứng minh "giả thuyết Riemann" cho đường cong có giống bất kỳ.
Trong tất cả các công trình này, Weil đã không ngừng giữ trong trí óc ông lý thuyết cổ điên của các "tương ứng" xây dựng bởi Hurwicz: một tương ứng trên $C$ có thể xem như một cấu xạ "đa trị", ,mà cụ thể hơn như một đường cong $\Gamma$ trên diện $C \times C$; tốt hơn nữa, nó được định nghĩa như một ước (tổ hợp tuyến tính của các đường cong) trên $C \times C$. Một tương ứng $\Gamma$ gắn (một cách tự nhiên) mỗi ước $D$ trên $C$ (tổ hợp tuyến tính của các điểm trên $C$) một ước khác $\Gamma(D)$, một lần nữa điều này định nghĩa một tự đồng cấu của $J(C)$; ngược lại nó chỉ ra mọi tự đồng cấu của $J(C)$ đều thu được từ cách định nghĩa này. Trong trường hợp cổ điển, công thức Lefschetz $(13)$ có thể mở rộng để đưa ra một số giao của một tương ứng với "tương ứng đồng nhất", i.e. đường chéo $\Delta$ của $C \times C$, và thực tế điều này đã được Hurwicz chứng minh năm $1866$, sử dụng lý thuyết tích phân abel; Weil thực ra đã có thể chứng minh một công thức tương tự một cách thuần túy đại số, điều đã dẫn ông đề xuất các giả thuyết mang tên mình.
Nguồn: E. Freitag, R. Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures.
Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm $4$ đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 28-04-2021 - 15:18