Chủ đề này có 2 trả lời

[KietLW9]

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(a-b)(b-c)(c-a)=a+b+c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=a+b+c$

[PDF]

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(a-b)(b-c)(c-a)=a+b+c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=a+b+c$

Đặt $b-a=x,c-b=y$. Khi đó ta tìm được

$$a=\frac{xy(x+y)-2x-y}{3},b=\frac{xy(x+y)+x-y}{3},c=\frac{xy(x+y)+x+2y}{3}.$$

Ta chỉ cần tìm $x,y$ để $3|xy(x+y)+x+2y$ là được. Nếu hoặc $x$ hoặc $y$ chia hết cho $3$ thì số còn lại cũng chia hết cho $3$.

Nếu $3|x+y$ thì $3|y$, suy ra $3|x,y$. Nếu $x\equiv y\pmod 3$ thì $3|2x^{3}$, suy ra $3|x,y$.

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có $3|x,y$. Suy ra $x,y\geq 3$.

$\Rightarrow a+b+c=xy(x+y)\geq 54$.

Vậy $S_{min}=54$ khi $a=15,b=18,c=21$. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 30-04-2021 - 10:48

[bimcaucau]

Đặt $b-a=x,c-b=y$. Khi đó ta tìm được

$$a=\frac{xy(x+y)-2x-y}{3},b=\frac{xy(x+y)+x-y}{3},c=\frac{xy(x+y)+x+2y}{3}.$$

Ta chỉ cần tìm $x,y$ để $3|xy(x+y)+x+2y$ là được. Nếu hoặc $x$ hoặc $y$ chia hết cho $3$ thì số còn lại cũng chia hết cho $3$.

Nếu $3|x+y$ thì $3|y$, suy ra $3|x,y$. Nếu $x\equiv y\pmod 3$ thì $3|2x^{3}$, suy ra $3|x,y$.

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có $3|x,y$. Suy ra $x,y\geq 3$.

$\Rightarrow a+b+c=xy(x+y)\geq 54$.

Vậy $S_{min}=54$ khi $a=15,b=18,c=21$. $\square$

tại sao 2 trường hợp ở đây là x+y chia hết cho 3 và x,y có cùng số dư khi chia cho 3 mà không phải là những trường hợp khác vậy ạ?