Chủ đề này có 1 trả lời

[i love math 12]

Cho hàm số $y= x^{3}+3x^{2}+9x+3$ Tìm k để 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và cùng có hệ số góc k đồng thời đường thẳng đi qua tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó với (C) cắt trục Ox, Oy tương ứng ở A và B sao cho $OB=2020OA$

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $y=f(x)=x^{3}+3x^{2}+9x+3$ Tìm k để 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và cùng có hệ số góc k đồng thời đường thẳng đi qua tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó với (C) cắt trục Ox, Oy tương ứng ở A và B sao cho $OB=2020OA$

$y'=f'(x)=3x^2+6x+9=3(x^2+2x+3)$

$y''=f''(x)=6x+6\Rightarrow I(-1;-4)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $f(x)$.

Giả sử $t_1$ và $t_2$ là hai tiếp tuyến với $(C)$ lần lượt tại $T_1$ và $T_2$ và thỏa mãn điều kiện đề bài.

Hàm số $f(x)$ có hệ số đầu tiên dương suy ra đường thẳng $AB$ (cũng là đường thẳng $T_1T_2$) có hệ số góc dương, và bằng $2020$

Mặt khác, đường thẳng $AB$ (đi qua $T_1$ và $T_2$) phải đi qua tâm đối xứng $I(-1;-4)$ của đồ thị.

Suy ra phương trình của đường thẳng $AB$ là $y=2020x+2016$

$x_{T_1}$ và $x_{T_2}$ là các nghiệm khác $-1$ của phương trình $x^3+3x^2+9x+3=2020x+2016$

hay $(x+1)(x^2+2x-2013)=0$

Vậy $x_{T_{1,2}}=-1\pm \sqrt{2014}$

Và $k=f'(x_{T_{1,2}})=3(x_{T_{1,2}}^2+2x_{T_{1,2}}+3)=3[(x_{T_{1,2}}^2+2x_{T_{1,2}}-2013)+2016]=6048$.