Đến nội dung


Hình ảnh

$(rs)! \vdots (r!)^s s!$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 NKH1601

NKH1601

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh

Đã gửi 03-05-2021 - 16:29

Với $r,s$ là các số tự nhiên, chứng minh rằng $(rs)! \vdots (r!)^s s!$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 03-05-2021 - 17:54


#2 Hoang72

Hoang72

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VN

Đã gửi 03-05-2021 - 19:25

Với $r,s$ là các số tự nhiên, chứng minh rằng $(rs)! \vdots (r!)^s s!$ (*)

Ta quy nạp theo s.

Với s = 1 ta có (*) luôn đúng.

Giả sử (*) đúng đến s. Tức là ta có $(rs)! \vdots (r!)^s s!$. (1)

Ta chứng minh (*) cũng đúng với s + 1. Tức là phải chứng minh $(r(s+1))!\vdots (r!)^{s+1}(s+1)!$.

Kết hợp với (1) ta chỉ cần chứng minh $(rs+1)(rs+2)..(rs+r)\vdots r!(s+1)$.

Tương đương với $(rs+1)(rs+2)...(rs+r-1)\vdots (r-1)!$ hay $A=\frac{(rs+1)(rs+2)...(rs+r-1)}{(r-1)!}\in\mathbb{N}$.

Mặt khác dễ thấy $A=C^{r-1}_{rs+r-1}$ nên ta có đpcm.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh