Với $r,s$ là các số tự nhiên, chứng minh rằng $(rs)! \vdots (r!)^s s!$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 03-05-2021 - 17:54
Với $r,s$ là các số tự nhiên, chứng minh rằng $(rs)! \vdots (r!)^s s!$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 03-05-2021 - 17:54
Với $r,s$ là các số tự nhiên, chứng minh rằng $(rs)! \vdots (r!)^s s!$ (*)
Ta quy nạp theo s.
Với s = 1 ta có (*) luôn đúng.
Giả sử (*) đúng đến s. Tức là ta có $(rs)! \vdots (r!)^s s!$. (1)
Ta chứng minh (*) cũng đúng với s + 1. Tức là phải chứng minh $(r(s+1))!\vdots (r!)^{s+1}(s+1)!$.
Kết hợp với (1) ta chỉ cần chứng minh $(rs+1)(rs+2)..(rs+r)\vdots r!(s+1)$.
Tương đương với $(rs+1)(rs+2)...(rs+r-1)\vdots (r-1)!$ hay $A=\frac{(rs+1)(rs+2)...(rs+r-1)}{(r-1)!}\in\mathbb{N}$.
Mặt khác dễ thấy $A=C^{r-1}_{rs+r-1}$ nên ta có đpcm.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh