Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $KS.BT=CS.LT$

hình thi vào 10 chuyên hình học 2020-2021

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Syndycate

Syndycate

    Binh nhì

  • Điều hành viên THCS
  • 12 Bài viết
Đây là bài hình thi chuyên hồi xưa a ôn thấy khá hợp form. Các e thử đi  :D 
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp (O) với $P$ là giao điểm của hai đường chéo và $M$ là trung điểm của $AD$. Gọi $K,L$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên $AB,CD$. Gọi $S,T$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KMA$ và $LMD$.
$a)$ Chứng minh $MK=ML$
$b)$ Chứng minh $KS.BT=CS.LT$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 03-05-2021 - 21:31


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AP, DP.

Ta có $ME=FL(=\frac{DP}{2});MF=EK(=\frac{AP}{2});\widehat{MEK}=\widehat{MFL}$ (góc tạo bởi hai đường thẳng song song).

Do đó $\Delta MEK=\Delta LFM(c.g.c)$.

Suy ra MK = ML/

b) OM cắt (S), (T) lần lượt tại X, Y.

Dễ thấy AX, DY lần lượt là đường kính của (S), (T) nên X, K, P thẳng hàng; Y, L, P thẳng hàng.

Với tứ giác ABCD nội tiếp, ta có bổ đề $\frac{BD}{AC}=\frac{sinA}{sinD}$.

Khi đó áp dụng ta có $\frac{DY}{ML}=\frac{sin\widehat{DMY}}{sin\widehat{MDL}}=\frac{1}{sin\widehat{MDL}};\frac{AX}{MK}=\frac{1}{sin\widehat{MAK}}\Leftrightarrow \frac{DY}{AX}=\frac{sin\widehat{MAK}}{sin\widehat{MDL}}=\frac{BD}{AC}$. (1)

Gọi G là giao điểm của AS, DT.

Ta có $\angle AGD=180^o-\angle GAD-\angle GDA=180^o-\angle MKX-\angle MLY=180^o-(\angle MKE+\angle EKX)-(\angle MLF+\angle FLY)=180^o-(\angle MKE+\angle MLF)-\angle{APK}-\angle{DPL}=\angle{MEK}-\angle{APK}-\angle{DPL}=\angle{KPL}-\angle{APK}-\angle{DPL}=\widehat{APD}\Rightarrow (A,D,G,P)\Rightarrow \widehat{XAC}=\widehat{YDB}$. (2)

Từ (1), (2) suy ra $\Delta XAC\sim\Delta YDB(c.g.c)\Rightarrow \frac{AS}{CS}=\frac{DT}{BT}\Rightarrow AS.BT=CS.DT\Rightarrow KS.BT=CS.LT(đpcm)$.

Hình gửi kèm

  • Screenshot (2).png






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình thi vào 10 chuyên, hình học, 2020-2021

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh