Đến nội dung


Hình ảnh

$\sum \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}} \geqslant 3\sqrt[6]{abc}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 viscolt0801

viscolt0801

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry,Inequality}$ <3

Đã gửi 04-05-2021 - 09:46

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 1$. Chứng minh rằng:

                            

                              $\sum \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}} \geqslant 3\sqrt[6]{abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viscolt0801: 04-05-2021 - 09:47


#2 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 04-05-2021 - 09:53

Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca\geqslant abc\Rightarrow ab\leqslant \frac{ab+bc+ca}{c}$

$\Rightarrow \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}\geqslant \frac{a+b}{\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{c}+c}}=\frac{(a+b)\sqrt{c}}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geqslant \frac{(a+b)\sqrt{c}}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}+\frac{(b+c)\sqrt{a}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{(c+a)\sqrt{b}}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}\geqslant 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}= 3\sqrt[6]{abc}(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh