Đến nội dung


Hình ảnh

$\frac{x}{x^{2}+y} + \frac{y}{y^{2}+x} \leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 kkqwe

kkqwe

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 04-05-2021 - 10:54

cho x,y>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=xy + 1$

         cmr $\frac{x}{x^{2}+y} + \frac{y}{y^{2}+x} \leq 1$



#2 Hunghcd

Hunghcd

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Kiều Phú
  • Sở thích:Bóng bàn,Mã Long

Đã gửi 13-05-2021 - 20:56

Em xin phép chém tí :icon6:

BĐT$\Leftrightarrow \frac{x^2y}{x^2+y}+\frac{xy^2}{x+y^2}\leq xy\Leftrightarrow x^2+y^2-(\frac{x^4}{x^2+y}+\frac{y^4}{y^2+x})\leq xy\Leftrightarrow \frac{x^4}{x^2+y}+\frac{y^4}{x+y^2}\geq x^2+y^2-xy=1$\

Ta có $\frac{x^4}{x^2+y}+\frac{y^4}{y^2+x}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2+x+y}\geq \frac{(x^2+y^2)(\frac{x+y}{2})^2}{x^2+y^2+x+y}=\frac{(x+y)^2}{2(1+\frac{x+y}{x^2+y^2})}\geq \frac{(x+y)^2}{2(1+\frac{2}{x+y})}=\frac{u^2}{2+\frac{4}{u}}$

Xét $\frac{u^2}{2+\frac{4}{u}}\geq 1\\ \Leftrightarrow (u-2)(u^2+2u+2)\geq 0$

(luôn đúng vì từ đk dễ thấy u$\geq 2$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh