Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{x}{x^{2}+y} + \frac{y}{y^{2}+x} \leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
kkqwe

kkqwe

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

cho x,y>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=xy + 1$

         cmr $\frac{x}{x^{2}+y} + \frac{y}{y^{2}+x} \leq 1$



#2
Hunghcd

Hunghcd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Em xin phép chém tí :icon6:

BĐT$\Leftrightarrow \frac{x^2y}{x^2+y}+\frac{xy^2}{x+y^2}\leq xy\Leftrightarrow x^2+y^2-(\frac{x^4}{x^2+y}+\frac{y^4}{y^2+x})\leq xy\Leftrightarrow \frac{x^4}{x^2+y}+\frac{y^4}{x+y^2}\geq x^2+y^2-xy=1$\

Ta có $\frac{x^4}{x^2+y}+\frac{y^4}{y^2+x}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2+x+y}\geq \frac{(x^2+y^2)(\frac{x+y}{2})^2}{x^2+y^2+x+y}=\frac{(x+y)^2}{2(1+\frac{x+y}{x^2+y^2})}\geq \frac{(x+y)^2}{2(1+\frac{2}{x+y})}=\frac{u^2}{2+\frac{4}{u}}$

Xét $\frac{u^2}{2+\frac{4}{u}}\geq 1\\ \Leftrightarrow (u-2)(u^2+2u+2)\geq 0$

(luôn đúng vì từ đk dễ thấy u$\geq 2$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh