Chủ đề này có 1 trả lời

[Mr handsome ugly]

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $[0;1]$ và $f(0)=f(1)=0$ và $f(x)>0\forall x\in (0;1)$ . Chứng minh rằng với mỗi số thực $k\in (0;1)$ thì luôn tồn tại hai số thực a và b biết 1>a;b>0 sao cho $f(a)=f(b)$ và $\left | a-b \right |=k$

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $[0;1]$ và $f(0)=f(1)=0$ và $f(x)>0\forall x\in (0;1)$ . Chứng minh rằng với mỗi số thực $k\in (0;1)$ thì luôn tồn tại hai số thực a và b biết 1>a;b>0 sao cho $f(a)=f(b)$ và $\left | a-b \right |=k$

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;1]$ suy ra hàm số $f(x+k)$ liên tục trên $[0;1-k]$.

Xét hàm $g(x)=f(x+k)-f(x)\Rightarrow$ hàm $g(x)$ cũng liên tục trên $[0;1-k]$.

$\left\{\begin{matrix}g(0)=f(k)-f(0)> 0\\g(1-k)=f(1)-f(1-k)< 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \exists\ b\in (0;1-k):g(b)=f(b+k)-f(b)=0$

Đặt $b+k=a$, dễ thấy rằng $a$ và $b$ đều thuộc $(0;1)$ và $f(a)=f(b)$.