Đến nội dung

Hình ảnh

chứng minh rằng a và b là hai số chính phương liên tiếp

số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nguyentrongvanviet

nguyentrongvanviet

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Cho a,b là các số nguyên dương thỏa 

$a^2+b^2+1=2a+2b+2ab$

 chứng minh rằng a và b là hai số chính phương liên tiếp



#2
phogngg

phogngg

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

từ giả thiết, ta có:
          a2 + b2 + 1 - 2a - 2b + 2ab=4ab (1)
<=>    (a+b-1)2=4ab => ab là số chính phương
đặt d=(a,b) 
=> 
d|a và d|b mà từ (1) ta lại có d|1 => d = 1
=> a và b là 2 số chính phương
đặt a= x2, b=y2

từ giả thiết ta có
          a2 + b2 + 1 + 2a - 2b - 2ab=4a

<=> (a - b + 1)2 = 4a
<=> x2 - y2 + 1 = 2x
<=> (x - 1)2 = y2
<=> b = 
(x - 1)2
=> a và b là 2 số chính phương liên tiếp
em mới vào ạ, có gì sai sót xin mọi người chỉ giúp em với


 



#3
Nguyen Van Hoang noob

Nguyen Van Hoang noob

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết

Cho a,b là các số nguyên dương thỏa 

$a^2+b^2+1=2a+2b+2ab$

 chứng minh rằng a và b là hai số chính phương liên tiếp

 

Ta có:

$a^{2} + b^2+1=2ab+2a+2b \Leftrightarrow (a^2+b^2+1-2ab-2b+2a)=4a\\ \Leftrightarrow (a-b+1)^2=4a \Leftrightarrow a= \left (\frac{a-b+1}{2} \right )^2$

Tương tự: $b=\left (\frac{b-a+1}{2} \right )^2 = \left (\frac{a-b-1}{2} \right )^2$

Ta thấy , a và b là bình phương của số hữu tỉ ; mà a,b nguyên dương

Nên a,b là 2 số chính phương. 

Lại có : $\frac{a-b+1}{2} - \frac{a-b-1}{2}=1$

Suy ra a,b là 2 số chính phương liên tiếp(dpcm)







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh