Cho a,b là các số nguyên dương thỏa
$a^2+b^2+1=2a+2b+2ab$
chứng minh rằng a và b là hai số chính phương liên tiếp
Cho a,b là các số nguyên dương thỏa
$a^2+b^2+1=2a+2b+2ab$
chứng minh rằng a và b là hai số chính phương liên tiếp
từ giả thiết, ta có:
a2 + b2 + 1 - 2a - 2b + 2ab=4ab (1)
<=> (a+b-1)2=4ab => ab là số chính phương
đặt d=(a,b)
=> d|a và d|b mà từ (1) ta lại có d|1 => d = 1
=> a và b là 2 số chính phương
đặt a= x2, b=y2
từ giả thiết ta có
a2 + b2 + 1 + 2a - 2b - 2ab=4a
<=> (a - b + 1)2 = 4a
<=> x2 - y2 + 1 = 2x
<=> (x - 1)2 = y2
<=> b = (x - 1)2
=> a và b là 2 số chính phương liên tiếp
em mới vào ạ, có gì sai sót xin mọi người chỉ giúp em với
Cho a,b là các số nguyên dương thỏa
$a^2+b^2+1=2a+2b+2ab$
chứng minh rằng a và b là hai số chính phương liên tiếp
Ta có:
$a^{2} + b^2+1=2ab+2a+2b \Leftrightarrow (a^2+b^2+1-2ab-2b+2a)=4a\\ \Leftrightarrow (a-b+1)^2=4a \Leftrightarrow a= \left (\frac{a-b+1}{2} \right )^2$
Tương tự: $b=\left (\frac{b-a+1}{2} \right )^2 = \left (\frac{a-b-1}{2} \right )^2$
Ta thấy , a và b là bình phương của số hữu tỉ ; mà a,b nguyên dương
Nên a,b là 2 số chính phương.
Lại có : $\frac{a-b+1}{2} - \frac{a-b-1}{2}=1$
Suy ra a,b là 2 số chính phương liên tiếp(dpcm)
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh