Đến nội dung

Hình ảnh

$a^3+b^3+c^3 \leqslant \frac{1}{8}+a^4+b^4+c^4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn điều kiện $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$a^3+b^3+c^3 \leqslant \frac{1}{8}+a^4+b^4+c^4$.



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Vì $a+b+c=1$ nên ta có: $\frac{1}{8}=\frac{(a+b+c)^4}{8}=\frac{[(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)]^2}{8}\geqslant \frac{4(a^2+b^2+c^2).2(ab+bc+ca)}{8}=(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)=a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)+abc(a+b+c)\geqslant a^3(1-a)+b^3(1-b)+c^3(1-c)$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $a,b,c$ có 1 số bằng 0 và 2 số bằng $\frac{1}{2}$


  • DBS yêu thích

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh