Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn điều kiện $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$a^3+b^3+c^3 \leqslant \frac{1}{8}+a^4+b^4+c^4$.
Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn điều kiện $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$a^3+b^3+c^3 \leqslant \frac{1}{8}+a^4+b^4+c^4$.
Vì $a+b+c=1$ nên ta có: $\frac{1}{8}=\frac{(a+b+c)^4}{8}=\frac{[(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)]^2}{8}\geqslant \frac{4(a^2+b^2+c^2).2(ab+bc+ca)}{8}=(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)=a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)+abc(a+b+c)\geqslant a^3(1-a)+b^3(1-b)+c^3(1-c)$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $a,b,c$ có 1 số bằng 0 và 2 số bằng $\frac{1}{2}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh