Chủ đề này có 2 trả lời

[KietLW9]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3abc$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{3a^2+1}+\frac{b}{3b^2+1}+\frac{c}{3c^2+1}\leqslant \frac{3}{4}$

P/s: Bài bất này trong đề tuyển sinh toán lớp 8, không biết có đáp án chưa?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 10-05-2021 - 15:48

[Hoang72]

Không biết có ổn không:

Đặt $\left ( \frac{a}{bc},\frac{b}{ca},\frac{c}{ab} \right )=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=\left ( \frac{1}{\sqrt{xy}},\frac{1}{\sqrt{yz}},\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)$.

Ta có x + y + z = 3.

BĐT $\Leftrightarrow \sum\frac{\sqrt{xy}}{xy+3}\leq\frac{1}{4}$. (*)

Áp dụng bđt AM - GM ta có $VT(*)\leq \sum\frac{\sqrt{xy}}{4\sqrt[4]{xy}}=\sum\frac{\sqrt[4]{xy}}{4}\leq \frac{3}{4}$

[KietLW9]

Không biết có ổn không:

Đặt $\left ( \frac{a}{bc},\frac{b}{ca},\frac{c}{ab} \right )=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=\left ( \frac{1}{\sqrt{xy}},\frac{1}{\sqrt{yz}},\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)$.

Ta có x + y + z = 3.

BĐT $\Leftrightarrow \sum\frac{\sqrt{xy}}{xy+3}\leq\frac{1}{4}$. (*)

Áp dụng bđt AM - GM ta có $VT(*)\leq \sum\frac{\sqrt{xy}}{4\sqrt[4]{xy}}=\sum\frac{\sqrt[4]{xy}}{4}\leq \frac{3}{4}$

Cách của mình:

Ta có: $3abc=a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant 3$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\Rightarrow (x,y,z)$ thì $x+y+z\leqslant 3$ thì ta cần chứng minh: $\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+3}+\frac{z}{z^2+3}\leqslant \frac{3}{4}$

Đây là bất đẳng thức quen thuộc: $\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+3}+\frac{z}{z^2+3}\leqslant \frac{x}{2x+2}+\frac{y}{2y+2}+\frac{z}{2z+2}=\frac{1}{2}[3-(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1})]\leqslant \frac{1}{2}[3-\frac{9}{x+y+z+3}]\leqslant \frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 10-05-2021 - 20:10