Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}(\sqrt{y}+1)=\sqrt{x^2+y^2}+2 & \\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2} & \end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}(\sqrt{y}+1)=\sqrt{x^2+y^2}+2 & \\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2} & \end{matrix}\right.$



#2
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cách giải của mình (nhức đầu thực sự :) ):

 

Từ (2): $x^2+4y-4=2(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})=x.\sqrt{4x-4}+y.\sqrt{4x-4}\leq \frac{x^2+4y-4}{2}+\frac{y^2+4x-4}{2}$

$\frac{x^2+4y-4}{2}\leq \frac{y^2+4x-4}{2}$

$x^2-y^2-4x+4y\leq 0$

$(x-y)(x+y-4)\leq 0$

Từ (1): $\Leftrightarrow \sqrt{x+y}-2=\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{xy+y^2}$

$\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2}=\frac{x(x-y)}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy+y^2}}$

$\Rightarrow (x-y)(x+y-4)\geq 0$

Từ đó, ta có: $\left\{\begin{matrix} x=2\sqrt{y-1} & \\ y=2\sqrt{x-1} & \\ (x-y)(x+y-4)=0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=y=2$



#3
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Hình như chỗ $(x-y)(x+y-4)\geq 0$ hơi lấn cấn nhỉ :D ?

PT ở trên chỗ đó sửa lại ở mẫu là $\sqrt{x+y}+2$ là ra .

Thật ra cách làm không khó. Hầu như việc tìm mối quan hệ giữa $x$ và $y$ là không thể.

Thế nên cách tốt nhất là đánh giá. 

Ở PT $(1)$ dĩ nhiên không khai thác được gì. Còn ở PT $(2)$ thì mấu chốt có vẻ rõ ràng hơn với sự xuất hiện của $\frac{x^2+4(y-1)}{2}$.

 

P/S: Mình chia sẻ hướng suy nghĩ để làm bài chứ không đứng ở vị trí người biết giải để nói. Đôi khi cảm giác và kinh nghiệm của bản thân cũng quan trọng.  =:)  =:)  =:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 13-05-2021 - 07:34

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

 

$\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2}=\frac{x(x-y)}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy+y^2}}$

$\Rightarrow (x-y)(x+y-4)\geq 0$

 

Ai giảng giúp em chỗ này với được không ạ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 31-10-2021 - 15:31

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#5
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Ai giảng giúp em chỗ này với được không ạ?

Chỗ đấy phải là: $\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}=\frac{x(x-y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{xy+y^{2}}}$

Thì 2 mẫu đều >0 nên suy ra tích của 2 tử cũng phải >0


Dư :unsure: Hấu   





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh