Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{\sqrt{ab+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{bc+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{ca+a^2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{\sqrt{ab+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{bc+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{ca+a^2}} \geqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-05-2021 - 07:21


#2
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

$\sqrt{bài này mk có làm rồi}$
$\sum \frac{a}{\sqrt{ab+b^2}}\geq \sum \frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}=2\sqrt{2}.\sum \frac{a^2}{a^2+3ab}\geq 2\sqrt{2}.\sum \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$
 


ズ刀Oア


#3
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

$\sqrt{bài này mk có làm rồi}$
$\sum \frac{a}{\sqrt{ab+b^2}}\geq \sum \frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}=2\sqrt{2}.\sum \frac{a^2}{a^2+3ab}\geq 2\sqrt{2}.\sum \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$
 

Bạn có thể giải thích kỹ hơn giúp mình đc ko ạ? Đọc mãi ko hiểu :)



#4
ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Bạn có thể giải thích kỹ hơn giúp mình đc ko ạ? Đọc mãi ko hiểu :)

Bước đầu là AmGm



#5
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Bạn có thể giải thích kỹ hơn giúp mình đc ko ạ? Đọc mãi ko hiểu :)

đoạn đầu thì nhân căn 2 vào dưới mẫu để am-gm, sau đấy là cauchy-schwarz


ズ刀Oア


#6
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{\sqrt{ab+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{bc+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{ca+a^2}} \geqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Em xin góp thêm một cách  :icon6:

Đặt $(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})\Rightarrow (x,y,z)$ thì $xyz=1$ và $P=\frac{x}{\sqrt{x+1}}+\frac{y}{\sqrt{y+1}}+\frac{z}{\sqrt{z+1}}\geqslant \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}}=\frac{x+y+z+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}}\geqslant \frac{x+y+z+6}{\sqrt{3(x+y+z+3)}}$

Đến đây dễ rồi nhỉ, chú ý là $x+y+z+3\geqslant 6$, tách ghép rồi dùng Cô-si


  • DBS yêu thích

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh