Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2+9\geq 2(ab+bc+ca)^3(1-\frac{1}{3}abc)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

\[ (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2+9\geq 2(ab+bc+ca)^3(1-\frac{1}{3}abc) \]
 

 


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Viết lại bđt dưới dạng $p,q,r$:

$$(p^{2}-2q)q^{2}+9 \geq 2q^{3}\left(1-\dfrac{r}{3}\right)$$

$$\Leftrightarrow q^{2}\left(4q-p^{2}-\dfrac{2qr}{3}\right) \leq 9$$

Nếu $4q\leq p^{2}+\dfrac{2qr}{3}$ thì bđt hiển nhiên đúng. Xét $4q>p^{2}+\dfrac{2qr}{3}$:

$$p^{2}+\dfrac{2qr}{3}+\dfrac{9}{q^{2}} \geq 4q$$

Áp dụng bđt AM - GM và Schur:

$$\dfrac{9}{q^{2}}+\dfrac{qr}{3}+\dfrac{qr}{3} \geq 3\sqrt[3]{r^{2}}$$

$$p\geq 3\sqrt[3]{r} \Rightarrow 3\sqrt[3]{r^{2}} \geq \dfrac{9r}{p}$$

$$r\geq \dfrac{p\left(4q-p^{2}\right)}{9} \Rightarrow \dfrac{9r}{p} \geq 4q-p^{2}$$

Từ $3$ bđt trên suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$



#3
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

:) Bài này do mình chế nên mình có hướng đi hơn.

 

Viết lại BĐT như sau: $\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+2abc+\dfrac{27}{(ab+bc+ca)^3}\geq 2(ab+bc+ca).\dfrac{3}{ab+bc+ca}.$

Đặt $t=\dfrac{3}{ab+bc+ca}$.

Khi đó, ta có: $t(a^2+b^2+c^2)+2abc+t^3\geq 2(ab+bc+ca)t$.

Đặt $(x,y,z)=(\dfrac{a}{t},\dfrac{b}{t},\dfrac{c}{t})$ thì ta được $x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx)$ (BĐT quen thuộc).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 26-06-2021 - 19:29

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh