Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Viết lại bđt dưới dạng $p,q,r$:
$$(p^{2}-2q)q^{2}+9 \geq 2q^{3}\left(1-\dfrac{r}{3}\right)$$
$$\Leftrightarrow q^{2}\left(4q-p^{2}-\dfrac{2qr}{3}\right) \leq 9$$
Nếu $4q\leq p^{2}+\dfrac{2qr}{3}$ thì bđt hiển nhiên đúng. Xét $4q>p^{2}+\dfrac{2qr}{3}$:
$$p^{2}+\dfrac{2qr}{3}+\dfrac{9}{q^{2}} \geq 4q$$
Áp dụng bđt AM - GM và Schur:
$$\dfrac{9}{q^{2}}+\dfrac{qr}{3}+\dfrac{qr}{3} \geq 3\sqrt[3]{r^{2}}$$
$$p\geq 3\sqrt[3]{r} \Rightarrow 3\sqrt[3]{r^{2}} \geq \dfrac{9r}{p}$$
$$r\geq \dfrac{p\left(4q-p^{2}\right)}{9} \Rightarrow \dfrac{9r}{p} \geq 4q-p^{2}$$
Từ $3$ bđt trên suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài này do mình chế nên mình có hướng đi hơn.
Viết lại BĐT như sau: $\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+2abc+\dfrac{27}{(ab+bc+ca)^3}\geq 2(ab+bc+ca).\dfrac{3}{ab+bc+ca}.$
Đặt $t=\dfrac{3}{ab+bc+ca}$.
Khi đó, ta có: $t(a^2+b^2+c^2)+2abc+t^3\geq 2(ab+bc+ca)t$.
Đặt $(x,y,z)=(\dfrac{a}{t},\dfrac{b}{t},\dfrac{c}{t})$ thì ta được $x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx)$ (BĐT quen thuộc).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 26-06-2021 - 19:29
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh