Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\frac{a^2}{bc+2a^2} + \frac{b^2}{ac+2b^2} +\frac{c^2}{ab+2c^2} = 1 $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt thoả $a+b+c=0$. Chứng minh rằng:

\[\frac{a^2}{bc+2a^2} + \frac{b^2}{ac+2b^2} +\frac{c^2}{ab+2c^2} = 1 .\]
 

P/S: Việc chứng minh có lẽ không là vấn đề. Tuy nhiên nên khai thác nhiều cách làm! :) 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 13-05-2021 - 09:34

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt thoả $a+b+c=0$. Chứng minh rằng:

\[\frac{a^2}{bc+2a^2} + \frac{b^2}{ac+2b^2} +\frac{c^2}{ab+2c^2} = 1 .\]
 

P/S: Việc chứng minh có lẽ không là vấn đề. Tuy nhiên nên khai thác nhiều cách làm! :)

 

Dễ dàng có được từ $a+b+c=0$ rằng $bc=-c^2-ac$ và $a^2=-a(b+c)$

Suy ra $\frac{a^2}{bc+2a^2}=\frac{-a(b+c)}{(a-c)(2a+c)}=\frac{-a(b+c)}{(a-c)(a-b)}$ (vì $c=-a-b$) 

Tương tự $\frac{b^2}{ac+2b^2}=\frac{-b(a+c)}{(b-c)(b-a)}$ $\frac{c^2}{ab+2c^2}=\frac{-c(a+b)}{(c-b)(c-a)}$

Thay vào và phân phối vào ta có tử và mẫu đều như nhau suy ra đpcm.  :D 

 

Chào anh Baoriven, mong được làm quen với anh. 



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Em xin góp thêm một cách nữa

Ta có: $\frac{a^2}{bc+2a^2} + \frac{b^2}{ac+2b^2} +\frac{c^2}{ab+2c^2}=\frac{1}{\frac{bc}{a^2}+2}+\frac{1}{\frac{b^2}{ca}+2}+\frac{1}{\frac{ab}{c^2}+2}$

Đặt $(\frac{bc}{a^2},\frac{ca}{b^2},\frac{ab}{c^2})\rightarrow (x,y,z)$ thì $xy+yz+zx=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=3$ và $xyz=1$

Khi đó $VT=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=\frac{xy+yz+zx+4(x+y+z)+12}{xyz+2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)+8}=\frac{xy+yz+zx+4(x+y+z)+12}{xy+yz+zx+4(x+y+z)+12}=1(Q.E.D)$

 

P/s: Đây là đẳng thức rất hay dùng trong chứng minh bất đẳng thức! :icon6: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-05-2021 - 11:03

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#4
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Một cách tương đối giống với pcoVietnam02

Ta có: $\frac{a^2}{bc+2a^2}=\frac{a^2}{2a^2+bc-a(a+b+c)}=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}$

Hoàn toàn tương tự: $\frac{b^2}{ca+2b^2}=\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}$ và $\frac{c^2}{ab+2c^2}=\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$.

Suy ra:

$\frac{a^2}{bc+2a^2} + \frac{b^2}{ac+2b^2} +\frac{c^2}{ab+2c^2}=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=\frac{a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}.$

Mặt khác:

$a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)=(a^2c-c^2a)+b^2(a-c)+b(c^2-a^2)=(a-b)(b-c)(c-a).$

Ta có đpcm. :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 13-05-2021 - 14:38

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh