Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt thoả $a+b+c=0$. Chứng minh rằng:
P/S: Việc chứng minh có lẽ không là vấn đề. Tuy nhiên nên khai thác nhiều cách làm!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 13-05-2021 - 09:34
Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt thoả $a+b+c=0$. Chứng minh rằng:
P/S: Việc chứng minh có lẽ không là vấn đề. Tuy nhiên nên khai thác nhiều cách làm!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 13-05-2021 - 09:34
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt thoả $a+b+c=0$. Chứng minh rằng:
\[\frac{a^2}{bc+2a^2} + \frac{b^2}{ac+2b^2} +\frac{c^2}{ab+2c^2} = 1 .\]P/S: Việc chứng minh có lẽ không là vấn đề. Tuy nhiên nên khai thác nhiều cách làm!
Dễ dàng có được từ $a+b+c=0$ rằng $bc=-c^2-ac$ và $a^2=-a(b+c)$
Suy ra $\frac{a^2}{bc+2a^2}=\frac{-a(b+c)}{(a-c)(2a+c)}=\frac{-a(b+c)}{(a-c)(a-b)}$ (vì $c=-a-b$)
Tương tự $\frac{b^2}{ac+2b^2}=\frac{-b(a+c)}{(b-c)(b-a)}$, $\frac{c^2}{ab+2c^2}=\frac{-c(a+b)}{(c-b)(c-a)}$
Thay vào và phân phối vào ta có tử và mẫu đều như nhau suy ra đpcm.
Chào anh Baoriven, mong được làm quen với anh.
Em xin góp thêm một cách nữa
Ta có: $\frac{a^2}{bc+2a^2} + \frac{b^2}{ac+2b^2} +\frac{c^2}{ab+2c^2}=\frac{1}{\frac{bc}{a^2}+2}+\frac{1}{\frac{b^2}{ca}+2}+\frac{1}{\frac{ab}{c^2}+2}$
Đặt $(\frac{bc}{a^2},\frac{ca}{b^2},\frac{ab}{c^2})\rightarrow (x,y,z)$ thì $xy+yz+zx=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=3$ và $xyz=1$
Khi đó $VT=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=\frac{xy+yz+zx+4(x+y+z)+12}{xyz+2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)+8}=\frac{xy+yz+zx+4(x+y+z)+12}{xy+yz+zx+4(x+y+z)+12}=1(Q.E.D)$
P/s: Đây là đẳng thức rất hay dùng trong chứng minh bất đẳng thức!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-05-2021 - 11:03
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Một cách tương đối giống với pcoVietnam02
Ta có: $\frac{a^2}{bc+2a^2}=\frac{a^2}{2a^2+bc-a(a+b+c)}=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}$
Hoàn toàn tương tự: $\frac{b^2}{ca+2b^2}=\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}$ và $\frac{c^2}{ab+2c^2}=\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$.
Suy ra:
$\frac{a^2}{bc+2a^2} + \frac{b^2}{ac+2b^2} +\frac{c^2}{ab+2c^2}=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=\frac{a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}.$
Mặt khác:
$a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)=(a^2c-c^2a)+b^2(a-c)+b(c^2-a^2)=(a-b)(b-c)(c-a).$
Ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 13-05-2021 - 14:38
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh