Cho hàm số $y=f(x)=x^3 - 3x$. Gọi đồ thị là (C).
a. CMR: Đường thẳng $(d): y=m(x+1) + 2$ luôn cắt (C) tại điểm A cố định.
b. Tìm m để (d) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A,B,C phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B và C vuông góc với nhau.
a) Đường thẳng $(d):y=m(x+1)+2$ luôn đi qua điểm cố định $A(-1;2)$
Điểm $A(-1;2)$ lại thuộc $(C)$
$\Rightarrow (d)$ luôn cắt $(C)$ tại điểm cố định $A(-1;2)$.
b) Điều kiện để $(d)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm phân biệt là phương trình $x^3-3x=m(x+1)+2$ có $3$ nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow$ phương trình $(x+1)(x^2-x-2)=m(x+1)$ có $3$ nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m> -\frac{9}{4}\\m\neq 0 \end{matrix}\right.$
Khi đó, $(d)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm $A,B,C$ phân biệt với $x_A=-1$ ; $x_B=\frac{1-\sqrt{4m+9}}{2}$ ; $x_C=\frac{1+\sqrt{4m+9}}{2}$
Gọi hệ số góc của tiếp tuyến với $(C)$ tại $B,C$ lần lượt là $k_B$ và $k_C$.
$k_B=f'(x_B)=3(x_B^2-1)=\frac{6m+9-3\sqrt{4m+9}}{2}$
$k_C=f'(x_C)=3(x_C^2-1)=\frac{6m+9+3\sqrt{4m+9}}{2}$
Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau $\Leftrightarrow k_B.k_C=-1$
$\Leftrightarrow 9m^2+18m+1=0\Leftrightarrow m=...$ hoặc $m=...$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 14-05-2021 - 15:34