Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của biểu thức: $T=\sqrt{\frac{a}{6a^2+9}}+\sqrt{\frac{b}{6b^2+9}}+\sqrt{\frac{c}{6c^2+9}}$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2\leqslant abc$. Tìm GTLN của biểu thức: $T=\sqrt{\frac{a}{6a^2+9}}+\sqrt{\frac{b}{6b^2+9}}+\sqrt{\frac{c}{6c^2+9}}$

P/s: Một bài cũ nhưng cũng khá hay!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-05-2021 - 20:03

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2\leqslant abc$. Tìm GTNN của biểu thức: $T=\sqrt{\frac{a}{6a^2+9}}+\sqrt{\frac{b}{6b^2+9}}+\sqrt{\frac{c}{6c^2+9}}$

P/s: Một bài cũ nhưng cũng khá hay!

Theo anh thì bài này phải là GTLN



#3
ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Hôm qua mk bỏ nó vào wolfram thì nó ko ra cái g cả :)



#4
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Hôm qua mk bỏ nó vào wolfram thì nó ko ra cái g cả :)

Nếu để $a,b,c\rightarrow 0$ thì $T\rightarrow 0$, nên cận dưới của $T$ là $0$.



#5
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2\leqslant abc$. Tìm GTLN của biểu thức: $T=\sqrt{\frac{a}{6a^2+9}}+\sqrt{\frac{b}{6b^2+9}}+\sqrt{\frac{c}{6c^2+9}}$

P/s: Một bài cũ nhưng cũng khá hay!

Ta chứng minh $T\leq \sqrt{\frac{3}{7}}.$

Thật vậy, sử dụng BĐT C-S và AM-GM:

$$T=\sum_{cyc}{\sqrt{\frac{63a}{(54+9)(6a^{2}+9)}}}\leq \sum_{cyc}{\frac{\sqrt{63a}}{18a+9}}\leq \frac{\sqrt{21}}{18}\sum_{cyc}{\frac{a+3}{2a+1}}.$$

Cần chứng minh $$\frac{a+3}{2a+1}+\frac{b+3}{2b+1}+\frac{c+3}{2c+1}\leq \frac{18}{7},$$

hay $$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\leq \frac{3}{7}.$$

Lại áp dụng BĐT C-S ta có

$$49VT\leq 18\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+3=\frac{18(bc+ca+ab)}{abc}+3\leq \frac{18(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{abc}+3\leq 21.$$

$\Rightarrow VT\leq \frac{3}{7}.$

Vậy $T_{max}=\sqrt{\frac{3}{7}}$ khi $a=b=c=3$. $\square$

PS: Vẫn còn cách giải khác cho bài này. :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 17-05-2021 - 20:43


#6
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta chứng minh $T\leq \sqrt{\frac{3}{7}}.$

Thật vậy, sử dụng BĐT C-S:

$$T=\sum_{cyc}{\sqrt{\frac{63a}{(54+9)(6a^{2}+9)}}}\leq \sum_{cyc}{\frac{\sqrt{63a}}{18a+9}}\leq \frac{\sqrt{21}}{18}\sum_{cyc}{\frac{a+3}{2a+1}}.$$

Cần chứng minh $$\frac{a+3}{2a+1}+\frac{b+3}{2b+1}+\frac{c+3}{2c+1}\leq \frac{18}{7},$$

hay $$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\leq \frac{3}{7}.$$

Lại áp dụng BĐT C-S ta có

$$49VT\leq 18\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+3=\frac{18(bc+ca+ab)}{abc}+3\leq \frac{18(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{abc}+3\leq 21.$$

$\Rightarrow VT\leq \frac{3}{7}.$

Vậy $T_{max}=\sqrt{\frac{3}{7}}$ khi $a=b=c=3$. $\square$

PS: Vẫn còn cách giải khác cho bài này. :)

Tất nhiên là có cách giải khác nhưng em vẫn thắc mắc vì sao tài liệu của em nó ghi GTLN

Lời giải. 

Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant 1$

Áp dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$, ta được: $\frac{1}{\sqrt{21}}.\sqrt{\frac{a}{6a^2+9}}\leqslant \frac{1}{2}(\frac{a}{6a^2+9}+\frac{1}{21})\leqslant \frac{1}{2}(\frac{a}{5a^2+6a}+\frac{1}{21}) =\frac{1}{2}(\frac{1}{5a+6}+\frac{1}{21})\leqslant \frac{1}{2}[\frac{1}{49}(\frac{5}{a}+\frac{2}{3})+\frac{1}{21} ]$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{1}{\sqrt{21}}T\leqslant \frac{1}{2} [ \frac{1}{49}(\frac{5}{a}+\frac{5}{b}+\frac{5}{c}+2)+\frac{3}{21}]\leqslant \frac{1}{7}$

$\Rightarrow T\leqslant \sqrt{\frac{3}{7}}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-05-2021 - 21:31

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh