Đến nội dung

Hình ảnh

Gọi M, N là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta BFD,\Delta CDE$ và P, Q là tâm (ABM), (ACN). Chứng minh MN//PQ

imo-shortlists-2012

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Cho $\Delta ABC$, các đường cao AD, BE, CF. Gọi M, N là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta BFD,\Delta CDE$ và P, Q là tâm (ABM), (ACN). Chứng minh MN//PQ


ズ刀Oア


#2
Hunghcd

Hunghcd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Lấy giao điểm thứ hai của (P) và (Q) là J.$\rightarrow AJ \bot PQ.$.Ta đi cm AJ$\bot MN$

Ta có $\widehat{NDC}=\widehat{MDF}(= \frac{\widehat{BAC}}{2})$

$\widehat{MFD}=\widehat{NCD}(= \frac{\widehat{ACB}}{2})$$\rightarrow \Delta FMD \sim \Delta CND(g.g)$$\rightarrow \frac{MD}{FD}=\frac{DN}{DC}\rightarrow \Delta MDN\sim \Delta FDC(c.g.c)\rightarrow\widehat{MND}=\widehat{FCD}\rightarrow \widehat{MBD}+\widehat{MNC}=180$$\rightarrow$tg BMNC nội tiếp. 

Đặt giao AJ và BM là S.Trên SC lấy N" sao cho tg BMN"C nt.Ta có SJ.SA=SM.SB. 

Lại có SM.SB=SN".SC$\rightarrow$SJ.SA=SN.SC$\rightarrow$tg AJNC nt$\rightarrow$N" là giao của (AJC) và (BMC)$\rightarrow$N$\equiv$N"$\rightarrow$AJ,BM,CN đồng quy tại S$\rightarrow$ AJ là phân giác $\widehat{BAC}$.Đặt AJ giao MN tại O$\rightarrow$$\widehat{JMO}+\widehat{MJO}=\widehat{ABM}+\widehat{BAJ}+\widehat{NCB}=\frac{1}{2}(\widehat{ABC}+\widehat{BCA}+\widehat{CAB})=90$

$\rightarrow$đpcm

Hình gửi kèm

  • geogebra-export.png


#3
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

geo.PNG

 


ズ刀Oア





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh