Đến nội dung


Hình ảnh

Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I),các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB lần lượt là D,E,F.Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của DE,DF,ME,NF.Các đường thẳn


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Amshsgs

Amshsgs

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-05-2021 - 00:45

Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I),các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB lần lượt là D,E,F.Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của DE,DF,ME,NF.Các đường thẳng BM,CN lần lượt cắt PQ tại S,T,K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DNC với DE(K khác D)
1.Chứng minh BCST là tứ giác nội tiếp
2.Chứng minh NMD đồng dạng NKC vs S là trung điểm KC
3.Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCST tiếp xúc với (I)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 15-05-2021 - 07:53


#2 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-05-2021 - 10:53

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$,các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$ lần lượt là $D,E,F$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $DE,DF,ME,NF$.Các đường thẳng $BM,CN$ lần lượt cắt $PQ$ tại $S,T$. $K$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DNC với $DE$ ($K$ khác $D$)
1.Chứng minh $BCST$ là tứ giác nội tiếp.
2.Chứng minh $NMD$ đồng dạng $NKC$ vs $S$ là trung điểm $KC$.
3.Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCST$ tiếp xúc với $(I)$.

Hai câu đầu có thể sử dụng biến đổi góc thuần túy để chứng minh, để ý $B,C,M,N$ đồng viên và $\angle CMK=90^{\circ}$.

Với câu 3, ngoài cách dưới đây, có thể gọi $X$ là giao của $(DCK)$ với $(I)$ rồi xử lý tiếp.

Lời giải. Gọi $J$ là tâm bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$. $W$ là trung điểm $DJ$. Dễ thấy $W$ nằm trên trung trực $BC$. $JD$ cắt lại $(I)$ tại $X$. Dễ thấy $WB=WC$. Mặt khác $WM=\frac{JE}{2}=\frac{JF}{2}=WN$ nên $W$ là tâm $(BCMN)$. Từ câu 2 ta có $SM=SC,TN=TB$ nên $WS\parallel DM,WT\parallel DN$. Suy ra $\angle SWT=\angle MDN=\angle SBT=\angle SCT$, từ đó $W\in (BCST)$. Sử dụng phương tích ta thu được $X\in (BCST)$. Suy ra $(I)$ đi qua $X,D$, tiếp xúc $BC$ tại $D$, đồng thời $XD$ đi qua $W$ là điểm giữa cung $BC$ của $(BCST)$. Do đó $(BCST)$ tiếp xúc $(I)$ tại $X$. $\square$.

Remark. Có thể nguồn gốc của bài toán trên là: Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$, đường cao $AH$. $S$ là trung điểm $AH$. $DS$ cắt $(I)$ tại $X$. Chứng minh đường tròn $(BXC)$ tiếp xúc $(I)$. Tác giả đã "giấu" điểm $X$ để tăng độ khó cho bài toán.

PS: Mình không biết cách đính kèm hình từ GSP sang, bạn nào giúp mình với :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 15-05-2021 - 11:00





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh