Đến nội dung

Hình ảnh

$\textrm{Cho } x,y \textrm{ là các số thực không âm.}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
hltkhang

hltkhang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

$\textrm{Cho } x,y \textrm{ là các số thực không âm.}$

$\textrm{Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:}$

$P=\dfrac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2}$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Lời giải. Ta có: 

$\frac{1}{4}-\dfrac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2}=\frac{(y^4+1)(x^2-1)^2+y^2(6x^4+4x^2+6)}{4(1+x^2)^2(1+y^2)^2}\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $(x,y)\in\left \{ (1,0);(-1,0) \right \}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3
hltkhang

hltkhang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Lời giải. Ta có: 

$\frac{1}{4}-\dfrac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2}=\frac{(y^4+1)(x^2-1)^2+y^2(6x^4+4x^2+6)}{4(1+x^2)^2(1+y^2)^2}\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $(x,y)\in\left \{ (1,0);(-1,0) \right \}$

em còn cách nào khác không

chứ a thấy nó rút gọn quá ik :)



#4
hltkhang

hltkhang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

$\textrm{Lời giải được trình bày như sau:}$

$\textrm{Ta có:}$

$P \le \dfrac{(x^2-0)(1-x^2.0)}{(1+x^2)^2(1+0)^2}=\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2} \le \dfrac{x^2}{4x^2} =\dfrac14$

$\Rightarrow \dfrac14 - P \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac14-\dfrac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2} \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(y^4+1)(x^2-1)^2+y^2(6x^4+4x^2+6)}{4(1+x^2)^2(1+y^2)^2} \ge 0 \textrm{(luôn đúng)}$

$\textrm{Dấu "=" xảy ra} \Leftrightarrow \left \{ {{x=\pm 1} \atop {y=0}} \right.$

$\textrm{Vậy ...}$



#5
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$\textrm{Lời giải được trình bày như sau:}$

$\textrm{Ta có:}$

$P \le \dfrac{(x^2-0)(1-x^2.0)}{(1+x^2)^2(1+0)^2}=\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2} \le \dfrac{x^2}{4x^2} =\dfrac14$

$\Rightarrow \dfrac14 - P \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac14-\dfrac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2} \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(y^4+1)(x^2-1)^2+y^2(6x^4+4x^2+6)}{4(1+x^2)^2(1+y^2)^2} \ge 0 \textrm{(luôn đúng)}$

$\textrm{Dấu "=" xảy ra} \Leftrightarrow \left \{ {{x=\pm 1} \atop {y=0}} \right.$

$\textrm{Vậy ...}$

$\text{Khúc này có gì khác của em đâu anh? Với lại từ dòng đầu là hình như đã xong bài rồi mà?}$ :mellow:


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#6
hltkhang

hltkhang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

$\text{Khúc này có gì khác của em đâu anh? Với lại từ dòng đầu là hình như đã xong bài rồi mà?}$

Tại của em nó gọn quá ng` ta đou có hỉu



#7
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Tại của em nó gọn quá ng` ta đou có hỉu

Anh không hiểu ý của em á? Ý của em là như này: Đúng là bài của em gọn thật nhưng em muốn ghi thế thành dãy cho nó đẹp, còn bài của anh thì dòng đầu đã có $P\leqslant \frac{1}{4}$ thì anh suy ra giá trị lớn nhất của $\text{P}$ được luôn chứ sao lại ghi thêm $\frac{1}{4}-P\geqslant 0$ (vì sau khi chứng minh điều này là hiển nhiên). Vả lại dòng $2,3,4$ của anh nó gọn y hệt của em nữa?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-05-2021 - 20:19

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#8
hltkhang

hltkhang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Anh không hiểu ý của em á? Ý của em là như này: Đúng là bài của em gọn thật nhưng em muốn ghi thế thành dãy cho nó đẹp, còn bài của anh thì dòng đầu đã có $P\leqslant \frac{1}{4}$ thì anh suy ra giá trị lớn nhất của$\text{P}$ được luôn chứ sao lại ghi thêm $\frac{1}{4}-P\geqslant 0$ (vì sau khi chứng minh điều này là hiển nhiên). Vả lại dòng} $2,3,4$ của anh nó gọn y hệt của em nữa?)

Oh! sorry em nhé, tại anh thích tóm gọn chủ đề lại nên ... với lại anh trình bày kém lắm :)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh