Chủ đề này có 2 trả lời

[Hunghcd]

Mình mới làm quen với phần bất đẳng thức cực trị đạt được tại biên.Nhìn các bạn biến đổi mà hoa mắt quá.Cho mình hỏi có phương pháp chung cho dạng bài này không?

VD: Cho $a,b,c\epsilon [1;2].CM $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 16-05-2021 - 10:20

[ChiMiwhh]

Mình mới làm quen với phần bất đẳng thức cực trị đạt được tại biên.Nhìn các bạn biến đổi mà hoa mắt quá.Cho mình hỏi có phương pháp chung cho dạng bài này không?

VD: Cho $a,b,c\epsilon [1;2].CM $a^3+b^3+c^3\leq 5abc

không bạn

có phải cái gì cũng có công thức đâu

phần lớn ta làm theo kiểu thử - sai. Người có kinh nghiệm thì sẽ làm đúng nhanh hơn

ví dụ của bạn xuất hiện trên vmf rồi, bạn chịu khó tìm đi

[KietLW9]

Mình mới làm quen với phần bất đẳng thức cực trị đạt được tại biên.Nhìn các bạn biến đổi mà hoa mắt quá.Cho mình hỏi có phương pháp chung cho dạng bài này không?

VD: Cho $a,b,c\epsilon [1;2].CM a^3+b^3+c^3\leq 5abc$

Phương pháp dồn biến với cực trị đạt tại biên có nhiều trong các tài liệu rồi, bạn nên xem cuốn NHỮNG VIÊN KIM CƯƠNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN HỌC (trang 571) để được rõ hơn nhé, còn về bài trên thì cách của mình đơn giản như trong sách Sáng tạo bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng thôi

Lời giải. 

Không mất tính tổng quát, giả sử $2\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant 1$

$\blacksquare $ Vì $a\in [1,2]$ nên $\left\{\begin{matrix}a-2\leqslant 0 & \\ a^2+2a-1\geqslant 1+2-1=2>0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow (a-2)(a^2+2a-1)\leqslant 0\Leftrightarrow a^3+2\leqslant 5a$ (1)

$\blacksquare $ Vì $2\geqslant a\geqslant b\geqslant  1$ nên $b^2+b+1\leqslant a^2+a+1\leqslant 2a+a+a=4a<5a\Rightarrow b^2+b+1-5a<0$

và $b-1\geqslant 0$ nên $(b-1)(b^2+b+1-5a)\leqslant 0\Leftrightarrow 5a+b^3\leqslant 5ab+1$ (2)

$\blacksquare $ Vì $2\geqslant a\geqslant c\geqslant 1$ nên $c^2+c+1\leqslant a^2+a+1\leqslant 2a+a+a=4a<5a<5ab\Rightarrow c^2+c+1-5ab<0$

và $c-1\geqslant 0$ nên $(c-1)(c^2+c+1-5ab)\leqslant 0\Leftrightarrow 5ab+c^3\leqslant 5abc+1$ (3)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=2;b=1;c=1$ và các hoán vị