Cho các số $a,b,c$ thoả mãn $0\leqslant a,b,c\leqslant 1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}\leqslant 2$$
$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}\leqslant 2$
Bắt đầu bởi DBS, 18-05-2021 - 10:20
#2
Đã gửi 18-05-2021 - 10:24
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Lời giải. Giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$
Vì $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$ nên $(b-1)(c-1)\geqslant 0\Leftrightarrow bc+1\geqslant b+c\Leftrightarrow \frac{a}{bc+1}\leqslant \frac{a}{b+c}\leqslant \frac{a}{a+b}$
Tương tự: $\frac{b}{ca+1}\leqslant \frac{b}{c+a}\leqslant \frac{b}{a+b}$; $\frac{c}{ab+1}\leqslant c\leqslant 1$
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2$
Đẳng thức xảy ra khi có 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0
- DBS yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#3
Đã gửi 18-05-2021 - 13:28
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho các số $a,b,c$ thoả mãn $0\leqslant a,b,c\leqslant 1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}\leqslant 2$$
Cách khác.
Vì $0\leqslant a,b,c\leqslant 1$ nên $\left\{\begin{matrix}(1-a)(1-b)\geqslant 0 & \\ (1-c)(1-ab)\geqslant 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}1+ab\geqslant a+b & \\ 1-ab+abc\geqslant c & \end{matrix}\right.\Rightarrow a+b+c\leqslant abc+2$
Mà ta cũng dễ có: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}\leqslant \frac{a+b+c}{1+abc}\leqslant \frac{2+abc}{1+abc}=1+\frac{1}{1+abc}\leqslant 2(\text{Q.E.D})$
Đẳng thức xảy ra khi có 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0
- DBS yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
