Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq2$$.
Lời giải của mình:
Do $a,b,c>0,a+b+c=1\Rightarrow0<a,b,c<1$. Nên ta có:
$LHS\leq(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+6(ab+bc+ca)=2(a+b+c)^2=2$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$.
Mình cảm thấy cách giải của mình chưa được tự nhiên lắm. Hi vọng sẽ tìm được cách giải khác ạ!