Đến nội dung

Hình ảnh

$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq2$$.

 

Lời giải của mình:

Do $a,b,c>0,a+b+c=1\Rightarrow0<a,b,c<1$. Nên ta có:

$LHS\leq(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+6(ab+bc+ca)=2(a+b+c)^2=2$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$.

 

Mình cảm thấy cách giải của mình chưa được tự nhiên lắm. Hi vọng sẽ tìm được cách giải khác ạ!



#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Hình như không có đánh giá nào để chỉ ra $a=b=c=\frac{1}{3}$ ?


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Hình như không có đánh giá nào để chỉ ra $a=b=c=\frac{1}{3}$ ?

À, trong bài mình đã dùng bất đẳng thức sau:

 

Với mọi số thực $a,b,c>0,0<m<1$, ta có: $(a-b)^2\geq m(a-b)^2$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 19-05-2021 - 10:51





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh