Cho dãy un thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{1}{4}\\u_{n+1}=\frac{4}{4-u_{n}} \end{matrix}\right., \forall n\in N$
Tính giới hạn lim(un)
Cho dãy un thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{1}{4}\\u_{n+1}=\frac{4}{4-u_{n}} \end{matrix}\right., \forall n\in N$
Tính giới hạn lim(un)
Ta có: $u_n\leq 2$. Có thể chứng minh bằng quy nạp, ở bước $k=n+1$ thì ta có:
\[ u_n\leq 2 \Rightarrow 4-u_n\geq 2\Rightarrow u_{n+1}=\frac{4}{4-u_n}\leq 2. \]
Từ đây, chứng minh dãy tăng (tăng ngặt cũng được). Thật vậy:
\[u_{n+1}\geq u_n\Leftrightarrow \frac{4}{4-u_n}\geq u_n\Leftrightarrow (u_n-2)^2\geq 0.\]
Hai bước trên là để kết luận dãy tăng và bị chặn nên tồn tại giới hạn.
Đặt $\lim{u_n}=L$. Suy ra $L$ là nghiệm của phương trình :$L=\frac{4}{4-L}\Leftrightarrow L=2$.
Vậy $\lim{u_n}=2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 19-05-2021 - 22:33
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh