Gọi $z$ là số phức thoả mãn:
\[ 2(z-i)^{2021}=(\sqrt{3}+i)(iz-1)^{2021}. \]
Xác định modul của $z$.
Gọi $z$ là số phức thoả mãn:
\[ 2(z-i)^{2021}=(\sqrt{3}+i)(iz-1)^{2021}. \]
Xác định modul của $z$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Gọi $z$ là số phức thoả mãn:
\[ 2(z-i)^{2021}=(\sqrt{3}+i)(iz-1)^{2021}. \]
Xác định modul của $z$.
Đặt $z=a+bi$ ($a,b\in\mathbb{R}$). Ta có : $2\left [ a+(b-1)i \right ]^{2021}=(\sqrt3+i)(-b-1+ai)^{2021}$
$\Rightarrow 2\left ( \sqrt{a^2+(b-1)^2} \right )^{2021}=2\left ( \sqrt{(b+1)^2+a^2} \right )^{2021}\Rightarrow b=0$.
Vậy $z$ là số thực ($z=a$) và ta có : $2(a-i)^{2021}=(\sqrt3+i)(ai-1)^{2021}$
$\Rightarrow \arg\left ( 2(a-i)^{2021} \right )=\arg\left ( (\sqrt3+i)(ai-1)^{2021} \right )$ $(^*)$
Đặt $\arg(a+i)=\alpha$ ($\alpha \in(0;\pi)$), ta có :
$\arg(a-i)=-\alpha$ ; $\arg(\sqrt3+i)=\frac{\pi}{6}$ ; $\arg(ai-1)=\frac{\pi}{2}+\alpha$
Nên từ $(^*)$ ta được $-2021\ \alpha +k.2\pi=\frac{\pi}{6}+2021\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )$
$\Rightarrow 4042\ \alpha +\frac{2\pi}{3}=k.2\pi$
$\Rightarrow \alpha =\frac{(3k-1)\pi}{6063}$ ($k\in\mathbb{N},1\leqslant k\leqslant 2021$)
$\Rightarrow a=\cot\alpha$ và $|z|=|a|=\left | \cot\alpha \right |=\left | \cot\frac{(3k-1)\pi}{6063} \right |$ ($k\in\mathbb{N},1\leqslant k\leqslant 2021$)
(Nghĩa là có tất cả $2021$ giá trị $|z|$ khác nhau thỏa mãn điều kiện đề bài)
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Ở bước chứng minh $z$ là số thực, ta có thể linh hoạt hơn như sau:
PT tương đương với:
\[(z-i)^{2021}=(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)i^{2021}(z+i)^{2021}. \]
Do $\bigg|\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\bigg|=1$ nên $|z-i|=|z+i|$ hay $z$ là số thực.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 21-05-2021 - 14:01
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh