Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh mọi $R-modun$ $M$ đều có một phép xạ ảnh


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 quangnhatnguyen

quangnhatnguyen

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 25-05-2021 - 11:10

Cho $M$ là một $R-modun$. Ta gọi một phép giải xạ ảnh của $M$ là một dãy khớp các đồng cấu $R-modun$

$...\rightarrow C_{n+1}\rightarrow C_{n}\rightarrow ...\rightarrow C_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$

trong đó $C_{i}$ là $R-modun$ xạ ảnh, $\forall i\geq 0$. Chứng minh rằng mọi $R-modun$ $M$ đều có một phép xạ ảnh.



#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1558 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry

Đã gửi 26-05-2021 - 23:31

Cho $M$ là một $R-modun$. Ta gọi một phép giải xạ ảnh của $M$ là một dãy khớp các đồng cấu $R-modun$

$...\rightarrow C_{n+1}\rightarrow C_{n}\rightarrow ...\rightarrow C_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$

trong đó $C_{i}$ là $R-modun$ xạ ảnh, $\forall i\geq 0$. Chứng minh rằng mọi $R-modun$ $M$ đều có một phép xạ ảnh.

Chứng minh điều này khá dễ, nó chỉ là kĩ thuật chẻ dãy khớp dài thành dãy khớp ngắn nhưng trước khi chứng minh mình sẽ góp vài góc nhìn mà mình nghĩ có thể ai đó sẽ thấy có ích

  • Giải xạ ảnh thì người ta thường kí hiệu bởi $P_{\bullet}$ hơn là $C_{\bullet}$ do chữ xạ ảnh trong tiếng anh là projective, ta thường viết gọn là $P_{\bullet} \twoheadrightarrow M$.
  • Khi viết $P_{\bullet} \twoheadrightarrow M$ ta có thể hiểu là một dãy khớp dài, với vị trí bậc $(-1)$ là $M$. Tuy nhiên nếu ta xét phạm trù $\mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathrm{Mod}_R)$ với vật là các phức $C_{\bullet}$ mà $C_{k}=0 \ \forall k < 0$ và cấu xạ là các đồng luân dây chuyền thì ta có thể đồng nhất $M$ với phức $M_{\bullet}$ mà $M_0 = M, M_{n}=  0 \ \forall n \neq 0$. Như vậy thực chất một giải xạ ảnh (projective resolution) của $M$ là một đồng luân dây chuyền $f: P_{\bullet} \to M$ đồng thời là một tựa đẳng cấu (quasi-isomorphism), tức, nó cảm sinh đẳng cấu trên đồng điều.

Về chứng minh, ta chọn một module $F_0$ tự do và một toàn cấu $F_0 \to M \to 0$ sau đó bạn làm tương tự sẽ có một module $F_1$ tự do và một toàn cấu $F_1 \to \mathrm{Ker}(F_0 \to M) \to 0$. Tại sao chọn được? Ví dụ $F_0 \to M \to 0$ ta chọn một hệ sinh $\left \{m_i \mid i \in I \right \}$ của $M$ và xét một module tự do $\bigoplus_{i \in I} Rr_i$ với một cơ sở $\left \{r_i \mid i \in I \right \}$, khi đó đồng cấu $r_i \mapsto m_i$ định nghĩa trên từng phần tử của cơ sở sẽ xác định duy nhất một đồng cấu $R$-tuyến tính $\bigoplus_{i \in I}Rr_i \to M \to 0$.

 

Ghép hai dãy này ta có $F_1 \to F_0 \to M \to 0$ khớp, điều này hiển nhiên từ xây dựng, ta tiếp tục quá trình này sẽ thu được dãy thỏa mãn. Cuối cùng, bạn thấy mọi module tự do thì đều xạ ảnh nên ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 26-05-2021 - 23:38

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh