Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{3}{ab}+ab$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 UserNguyenHaiMinh

UserNguyenHaiMinh

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-05-2021 - 15:49

cho a;b >0 và $a^{3}+b^{3}+6ab\leq 8$

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{3}{ab}+ab$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UserNguyenHaiMinh: 26-05-2021 - 15:51


#2 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 112 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Bất đẳng thức, phương trình vô tỷ

Đã gửi 26-05-2021 - 16:15

cho a;b >0 và $a^{3}+b^{3}+6ab\leq 8$

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{3}{ab}+ab$

Từ gt, dễ dàng biến đổi ra được: $a+b\leqslant 2$

Ta có: $P=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+(\frac{2}{2ab}+ab)+\frac{3}{2ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2\sqrt{\frac{1}{ab}.ab}+\frac{6}{(a+b)^2}=\frac{9}{2}$

Vậy $P_{Min}=\frac{9}{2}$



#3 UserNguyenHaiMinh

UserNguyenHaiMinh

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-05-2021 - 16:22

Từ gt, dễ dàng biến đổi ra được: $a+b\leqslant 2$

Ta có: $P=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+(\frac{2}{2ab}+ab)+\frac{3}{2ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2\sqrt{\frac{1}{ab}.ab}+\frac{6}{(a+b)^2}=\frac{9}{2}$

Vậy $P_{Min}=\frac{9}{2}$

Biến đổi gt kiểu gì v bạn  :icon6:



#4 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 112 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Bất đẳng thức, phương trình vô tỷ

Đã gửi 26-05-2021 - 16:31

Biến đổi gt kiểu gì v bạn  :icon6:

Nãy lười gõ $\LaTeX$ :)
$(gt) \Leftrightarrow (a+b)^3+6ab-3ab(a+b)-8\leqslant 0$

$\Leftrightarrow (a+b-2)(a^2+b^2+ab+2a+2b+4)\leqslant 0$

$\Leftrightarrow a+b\leqslant 2$ (vì $a,b>0$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 26-05-2021 - 16:31


#5 UserNguyenHaiMinh

UserNguyenHaiMinh

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-05-2021 - 16:37

Nãy lười gõ $\LaTeX$ :)
$(gt) \Leftrightarrow (a+b)^3+6ab-3ab(a+b)-8\leqslant 0$

$\Leftrightarrow (a+b-2)(a^2+b^2+ab+2a+2b+4)\leqslant 0$

$\Leftrightarrow a+b\leqslant 2$ (vì $a,b>0$)

Thanks bạn  :wub:


  • DBS yêu thích





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh