Đến nội dung

Hình ảnh

Prove that $\left ( A- AB= B^{2} \right.$ và $\left. B- BA= A^{2} \right )\Rightarrow A= B$

* * * * * 1 Bình chọn

Lời giải phuc_90, 03-09-2021 - 21:30

 

Let $A, B\in\mathbb{M}_{2}\left ( \mathbb{C} \right )$ such that $A- AB= B^{2}$ and $B- BA= A^{2}.$ Prove that $A= B.$
 

 

 

Theo điều kiện giả thiết ta có $\left\{\begin{matrix}A=(A+B)B\\B=(A+B)A \end{matrix}\right.$

 

Khi đó $\left\{\begin{matrix}A+B=(A+B)(A+B)\\A-B=-(A+B)(A-B) \end{matrix}\right.$

 

Suy ra $(A+B)(A-B)=-(A+B)(A+B)(A-B)=-(A+B)(A-B)$ hay $(A+B)(A-B)=0$

 

Khai triển ra ta được $A^2+BA-B^2-AB=0$ hay $B-A=0$

 

Vậy $A=B$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết
Let $A, B\in\mathbb{M}_{2}\left ( \mathbb{C} \right )$ such that $A- AB= B^{2}$ and $B- BA= A^{2}.$ Prove that $A= B.$
 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 25-06-2021 - 20:44

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
✓  Lời giải

 

Let $A, B\in\mathbb{M}_{2}\left ( \mathbb{C} \right )$ such that $A- AB= B^{2}$ and $B- BA= A^{2}.$ Prove that $A= B.$
 

 

 

Theo điều kiện giả thiết ta có $\left\{\begin{matrix}A=(A+B)B\\B=(A+B)A \end{matrix}\right.$

 

Khi đó $\left\{\begin{matrix}A+B=(A+B)(A+B)\\A-B=-(A+B)(A-B) \end{matrix}\right.$

 

Suy ra $(A+B)(A-B)=-(A+B)(A+B)(A-B)=-(A+B)(A-B)$ hay $(A+B)(A-B)=0$

 

Khai triển ra ta được $A^2+BA-B^2-AB=0$ hay $B-A=0$

 

Vậy $A=B$



#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Cho em hỏi về khả năng dùng hai tiên đề đã cho $B= \left ( A+ B \right )\backslash A, \quad A= \left ( A+ B \right )\backslash B$, chứng minh kết quả $A= B$ kiểu chain rule-like —

$${\it H}\left ( y\mid x \right )= {\it H}\left ( x, y \right )- {\it H}\left ( x \right ){\it ?}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 31-10-2023 - 12:43





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh