Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyentrongvanviet]

Cho đa giác n cạnh với các đỉnh là các điểm nguyên trên mặt phẳng tọa độ sao cho độ dài các cạnh của đa giác nguyên. Chứng minh rằng chu vi đa giác là số chẵn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrongvanviet: 26-05-2021 - 21:58

[poset]

Trong một tam giác vuông với các cạnh là số nguyên dương, tổng độ dài hai cạnh góc vuông có cùng tính chẵn lẻ với độ dài cạnh huyền: Đặt độ dài hai cạnh góc vuông là $a,b$, độ dài cạnh huyền là $c$, ta có $a+b$ cùng tính chẵn lẻ với $a^2+b^2=c^2$ và do đó cùng tính chẵn lẻ với $c$ ($x$ cùng tính chẵn lẻ với $x^2$ với $x$ nguyên)
Giờ thay tất cả các cạnh chéo $AB$ (tức là không song song với trục $Ox,Oy$) bằng hai cạnh $AC$ song song với $Ox$, $CB$ song song với $Oy$, với $C$ có tọa độ nguyên. Ví dụ:

https://www.geogebra...aphing/pqwqz7dp

Hình tạo được vẫn là đa giác và theo như trên thì tính chẵn lẻ của chu vi đa giác không thay đổi khi làm như vậy. Vậy ta thu được một đa giác có các đỉnh có tọa độ nguyên và các cạnh song song với $Ox$ hoặc $Oy$
Giờ đi một vòng từ một đỉnh của đa giác qua tất cả các cạnh và trở về chính đỉnh đó. Mỗi khi ta đi qua phải theo một cạnh có độ dài $x$ (cùng hướng $Ox$), hoành độ tăng thêm $x$ và ngược lại khi đi qua trái theo một cạnh có độ dài $x'$ (ngược hướng $Ox$), hoành độ giảm đi $x'$, còn nếu đi lên hay xuống thì hoành độ không đổi. Để chúng ta trở về đỉnh ban đầu, tức hoành độ giữ nguyên sau khi đi hết một vòng, thì tổng độ dài các cạnh mà ta đi sang trái bằng tổng độ dài các cạnh mà ta đi sang phải, ta gọi tổng độ dài đó là $X$, $X$ nguyên vì nó là tổng của các số nguyên. Tương tự tổng độ dài các cạnh mà ta đi lên bằng tổng độ dài các cạnh mà ta đi xuống, ta gọi tổng độ dài đó là $Y$ nguyên. Chúng ta chỉ có bốn loại cạnh lên xuống trái phải, nên chu vi đa giác là $X+X+Y+Y=2(X+Y)$ là số chẵn
Bài THCS cũng hay phết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 28-05-2021 - 15:53