Câu $1$: Đặt $x=\frac{2a}{b+c}$, $y=\frac{2b}{c+a}$, $z=\frac{2c}{a+b}$. Ta có: $x,y,z \geq 0$ và $xy+yz+zx+xyz=4$
BĐT trở thành: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+5xyz \geq 8$
Đưa bđt về dạng $p,q,r$, từ gt ta có: $q+r=4$ và bđt trở thành:
$p^{2}-2q+5r \geq 8 \Leftrightarrow p^{2}-7q+12 \geq 0$
Nếu $p \leq 4$, sử dụng bđt Schur ta có:
$r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9} \Rightarrow 4\geq q+\frac{p(4q-p^{2})}{9} \Leftrightarrow q\leq \frac{p^{3}+36}{4p+9} \Rightarrow p^{2}-7q+12 \geq p^{2}-\frac{7(p^{3}+36)}{4p+9}+12$
Nên ta chỉ cần cm đc: $p^{2}-\frac{7(p^{3}+36)}{4p+9}+12 \geq 0 \Leftrightarrow (p-3)(p^{2}-16) \leq 0$
Ta có: $4-q=r \leq \sqrt{\frac{p^{3}}{27}} \Rightarrow q^{3}\geq 27(q^{2}-8q+16) \Rightarrow (q-3)(q-12)^{2} \geq 0 \Rightarrow q\geq 3 \Rightarrow p\geq \sqrt{3q} \geq 3$
Do đó: $3\leq q\leq 4$ nên bđt trên đúng
Nếu $p\geq 4$, ta có: $p^{2}\geq 16\geq 4q$ nên $p^{2}-2q+5r \geq p^{2}-2q \geq \frac{p^{2}}{2} \geq 8$
Vậy bđt đc cm
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow p=q=3, r=1$ hoặc $p=q=4, r=0$ $\Leftrightarrow x=y=z=1$ hoặc $x=y=2$, $z=0$ hoặc các hoán vị tương ứng $\Leftrightarrow a=b=c$ hoặc $a=b$, $c=0$ hoặc các hoán vị tương ứng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 11-06-2021 - 23:52