Chủ đề này có 4 trả lời

[Shikamaru Nara]

Câu 1: Cho $a,b,c\geq 0$ và 2 trong 3 số bất kì không đồng thời bằng 0.CMR:

$(\frac{a}{b+c})^{2}+(\frac{b}{c+a})^{2}+(\frac{c}{a+b})^{2}+\frac{10abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

 

Câu 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn; abc=1.CMR:$\sum \frac{1}{1+a+b}\leq \sum \frac{1}{a+2}$

 

Câu 3: Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn :a+b+c=1.CMR: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+2abc\geq \frac{247}{54}$

[biomemphisvng]

Câu 1: Cho $a,b,c\geq 0$ và 2 trong 3 số bất kì không đồng thời bằng 0.CMR:

$(\frac{a}{b+c})^{2}+(\frac{b}{c+a})^{2}+(\frac{c}{a+b})^{2}+\frac{10abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

 

Câu 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn; abc=1.CMR:$\sum \frac{1}{1+a+b}\leq \sum \frac{1}{a+2}$

 

Câu 3: Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn :a+b+c=1.CMR: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+2abc\geq \frac{247}{54}$

 
Câu 3 dùng Schur cho cái abc thì phải bạn ạ 

[Dark Repulsor]

Câu $1$: Đặt $x=\frac{2a}{b+c}$, $y=\frac{2b}{c+a}$, $z=\frac{2c}{a+b}$. Ta có: $x,y,z \geq 0$ và $xy+yz+zx+xyz=4$

BĐT trở thành: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+5xyz \geq 8$

Đưa bđt về dạng $p,q,r$, từ gt ta có: $q+r=4$ và bđt trở thành:

$p^{2}-2q+5r \geq 8 \Leftrightarrow p^{2}-7q+12 \geq 0$

Nếu $p \leq 4$, sử dụng bđt Schur ta có:

$r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9} \Rightarrow 4\geq q+\frac{p(4q-p^{2})}{9} \Leftrightarrow q\leq \frac{p^{3}+36}{4p+9} \Rightarrow p^{2}-7q+12 \geq p^{2}-\frac{7(p^{3}+36)}{4p+9}+12$

Nên ta chỉ cần cm đc: $p^{2}-\frac{7(p^{3}+36)}{4p+9}+12 \geq 0 \Leftrightarrow (p-3)(p^{2}-16) \leq 0$

Ta có: $4-q=r \leq \sqrt{\frac{p^{3}}{27}} \Rightarrow q^{3}\geq 27(q^{2}-8q+16) \Rightarrow (q-3)(q-12)^{2} \geq 0 \Rightarrow q\geq 3 \Rightarrow p\geq \sqrt{3q} \geq 3$

Do đó: $3\leq q\leq 4$ nên bđt trên đúng

Nếu $p\geq 4$, ta có: $p^{2}\geq 16\geq 4q$ nên $p^{2}-2q+5r \geq p^{2}-2q \geq \frac{p^{2}}{2} \geq 8$

Vậy bđt đc cm

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow p=q=3, r=1$ hoặc $p=q=4, r=0$ $\Leftrightarrow x=y=z=1$ hoặc $x=y=2$, $z=0$ hoặc các hoán vị tương ứng $\Leftrightarrow a=b=c$ hoặc $a=b$, $c=0$ hoặc các hoán vị tương ứng

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 11-06-2021 - 23:52

[Dark Repulsor]

Câu $2$: Quy đồng $2$ vế bđt rồi đưa về dạng $p,q,r$. Từ gt ta có: $r=1$ và bđt trở thành:

$\frac{p^{2}+4p+q+3}{p^{2}+pq+2p+q} \leq \frac{4p+q+12}{4p+2q+9}$

$\Leftrightarrow 3p^{2}q+pq^{2}+6pq-5p^{2}-q^{2}-24p-3q-27 \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3} \left[(4p+q+9)(pq-9)+q^{2}(p-3)+(5p^{2}+pq+12p)(q-3) \right] \geq 0$

Dễ cm $p\geq 3$, $q\geq 3$ nên bđt trên đúng $\Rightarrow$ đpcm

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow p=q=3 \Leftrightarrow a=b=c=1$

 

[Dark Repulsor]

Câu $3$: Quy đồng rồi đưa bđt về dạng $p,q,r$. Từ gt ta có: $p=1 \Rightarrow q\leq \frac{1}{3}$ và bđt trở thành:

$\frac{q+1}{q-r}+2r \geq \frac{247}{54}$

Sử dụng bđt Schur ta có: $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}=\frac{4q-1}{9}$

$\Rightarrow \frac{q+1}{q-r}+2r \geq \frac{9(q+1)}{5q+1}+\frac{2(4q-1)}{9}$

Nên ta chỉ cần cm: $\frac{9(q+1)}{5q+1}+\frac{2(4q-1)}{9} \geq \frac{247}{54} \Leftrightarrow (3q-1)(80q-227) \geq 0$ (đúng với $q\leq \frac{1}{3}$)

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow q=\frac{1}{3},r=\frac{1}{27} \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$