Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm vô tỷ

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta gọi một điểm là điểm vô tỉ nếu điểm đó có tọa độ cả x và y đều là số vô tỷ và tương tự một điểm gọi là điểm hữu tỉ nếu cả tọa độ x và y của điểm đó đều là số hữu tỉ. Một điểm gọi là điểm  bán hữu tỉ nếu  tọa độ x  điểm đó là số hữu tỉ và  tọa độ y là số vô tỷ. Tương tự một điểm gọi là điểm bán vô tỷ  nếu tọa độ x của điểm đó là số vô tỷ và tọa độ y của điểm đó  là số hữu tỉ

a) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm vô tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).

b) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm hữu tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).

c) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm  bán hữu tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 28-05-2021 - 23:05


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Anh nghĩ câu hỏi của em chưa "well-defined", có điều anh không đủ kiến thức để chứng minh :( Khái niệm liên tục thông thường mà chúng ta học ở phổ thông chỉ áp dụng trên $\mathbb{X} \rightarrow \mathbb{R}$.

Em đọc thử phần Continuous functions between topological spaces trong wiki xem.

https://en.wikipedia...inuous_function


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Anh nghĩ câu hỏi của em chưa "well-defined", có điều anh không đủ kiến thức để chứng minh :( Khái niệm liên tục thông thường mà chúng ta học ở phổ thông chỉ áp dụng trên $\mathbb{X} \rightarrow \mathbb{R}$.

Em đọc thử phần Continuous functions between topological spaces trong wiki xem.

https://en.wikipedia...inuous_function

Anh có thể giải thích giúp em chưa "well-defined" chỗ nào được không ạ; còn về link anh gửi lên thì em vẫn chưa đủ kiến thức để đọc ( em chưa học toán cao cấp).



#4
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta gọi một điểm là điểm vô tỉ nếu điểm đó có tọa độ cả x và y đều là số vô tỷ và tương tự một điểm gọi là điểm hữu tỉ nếu cả tọa độ x và y của điểm đó đều là số hữu tỉ. Một điểm gọi là điểm bán hữu tỉ nếu tọa độ x điểm đó là số hữu tỉ và tọa độ y là số vô tỷ. Tương tự một điểm gọi là điểm bán vô tỷ nếu tọa độ x của điểm đó là số vô tỷ và tọa độ y của điểm đó là số hữu tỉ
a) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm vô tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).
b) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm hữu tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).
c) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm bán hữu tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).
d) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm bán vô tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).

Chỉ cần xét $x$ hữu tỷ với câu đầu và vô tỷ với câu thứ hai là không có rồi. Ừ chú ý mấy cái hiển nhiên vào để mà không ra đề.
Bán hữu tỷ là gì?! Nếu ít nhất một cái toạ độ hữu tỷ thì lấy hàm hằng $c$ hữu tỷ. Tương tự với bán vô tỷ
Còn một cái hữu tỷ một cái vô tỷ thì hai cái cuối giống nhau, nếu vậy thì lần nữa chú ý lại kẻo ra trùng đề kiểu này. Có cm không có nhưng khá cao cấp, để nghĩ đã.
Ừm nên học chút cao cấp nếu em thích kiểu chế đề tùm lum thế này để có cái nhìn rõ hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 28-05-2021 - 21:41


#5
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Chỉ cần xét $x$ hữu tỷ với câu đầu và vô tỷ với câu thứ hai là không có rồi. Ừ chú ý mấy cái hiển nhiên vào để mà không ra đề.
Bán hữu tỷ là gì?! Nếu ít nhất một cái toạ độ hữu tỷ thì lấy hàm hằng $c$ hữu tỷ. Tương tự với bán vô tỷ

Còn một cái hữu tỷ một cái vô tỷ thì hai cái cuối giống nhau, nếu vậy thì lần nữa chú ý lại kẻo ra trùng đề kiểu này. Có cm không có nhưng khá cao cấp, để nghĩ đã.
Ừm nên học chút cao cấp nếu em thích kiểu chế đề tùm lum thế này để có cái nhìn rõ hơn

Anh nói rõ lại giúp em phần màu đỏ được không ạ.

Em có ý tưởng này cho câu b): Ta chứng minh số điểm mà một hàm số liên tục đi qua là không đếm được sau đó chứng minh số lượng điểm vô tỷ là đếm được suy ra không tồn tại hàm số ( lý thuyết tập hợp); thật ra kiến thức này em có được nhờ mấy bài giảng đại chúng về toán học (fun math) thôi ấy ạ nên chắc sai sót nhiều nhưng em mong chúng có thể giúp ích gì đó cho việc giải việc giải bài toán này  :P .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 28-05-2021 - 23:10


#6
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

Anh nói rõ lại giúp em phần màu đỏ được không ạ.
Em có ý tưởng này cho câu b): Ta chứng minh số điểm mà một hàm số liên tục đi qua là không đếm được sau đó chứng minh số lượng điểm vô tỷ là đếm được suy ra không tồn tại hàm số ( lý thuyết tập hợp); thật ra kiến thức này em có được nhờ mấy bài giảng đại chúng về toán học (fun math) thôi ấy ạ nên chắc sai sót nhiều nhưng em mong chúng có thể giúp ích gì đó cho việc giải việc giải bài toán này  :P .

Thì không phải mấy điểm trên đồ thị là $(x,f,(x))$ à. Nếu tìm đồ thị toàn điểm có toạ độ hữu tỷ thì lấy $x$ vô tỷ thì vô lý rồi và tương tự câu thứ hai.
Nếu em biết thì giải luôn trường hợp toạ độ có cả hữu tỷ và vô tỷ. Hàm hằng thì không thoả mãn, nếu hằng là vô tỷ thì lấy $x$ vô tỷ ta có $(x,f(x))$ có toạ độ đều vô tỷ, tương tự với trường hợp hằng là hữu tỷ.
Giờ xét $f(x_1)<f(x_2)$ trong trường hợp không phải hàm hằng. Tất cả các số vô tỷ $t$ trong khoảng $(f(x_1);f(x_2))$ đều tồn tại $z$ hữu tỷ sao cho $f(z)=t$, tức là tồn tại một hàm toàn ánh từ một tập đếm được sang tập không đếm được, vô lý. Vậy không tông tại hàm thoả mãn

#7
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Em giải quyết câu b):

Ta xét $f(x)$ là hàm khác hằng Ta chọn 2 số vô tỉ A và B sao cho tồn tại 2 số vô tỉ a và b để $f(a)=A$ và $f(b)=B$ và $A\geq B$

Ta dùng bổ đề sau: giữa 2 số vô tỉ bất kì luôn tồn tại một số hữu tỉ; chứng minh cái này em xin nhường lại cho mọi người (em từng tim thấy bổ đề này trong một cuốn sách toán đại cương nhưng đã quên mất cách chứng minh :luoi:)

Vì hàm hàm $f(x)$ là hàm số liên tục nên hàm nhận mọi giá trị nằm giữa A và B nên hàm sẽ đi qua một số vô tỉ nên không tồn tai hàm $f(x)$ khác hằng thảo; giờ ta chỉ xét hàm hằng

Em nghĩ câu a);c);d) cũng có thể giải quyết tương từ với bổ đề: giữa 2 số hữu tỉ bất kì luôn tồn tại một số vô tỉ và cái bổ đề trên; mong mọi người giải quyết giúp em 2 cái bổ đề trên  :D .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 29-05-2021 - 12:29


#8
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Cái bổ đề em nói chính là tính trù mật của $\mathbb{Q}$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#9
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Cái bổ đề em nói chính là tính trù mật của $\mathbb{Q}$.

liệu có lời giải sơ cấp cho bổ đề này không anh ạ

#10
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

liệu có lời giải sơ cấp cho bổ đề này không anh ạ

Em xem ở đây. Nói chung là chọn một số $n$ đủ lớn rồi xét dãy $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots$. Sẽ có một phân số trong dãy này nằm giữa $a$ và $b$ không âm cho trước.

https://math.stackex...nsity-of-q-in-r


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#11
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta gọi một điểm là điểm vô tỉ nếu điểm đó có tọa độ cả x và y đều là số vô tỷ và tương tự một điểm gọi là điểm hữu tỉ nếu cả tọa độ x và y của điểm đó đều là số hữu tỉ. Một điểm gọi là điểm  bán hữu tỉ nếu  tọa độ x  điểm đó là số hữu tỉ và  tọa độ y là số vô tỷ. Tương tự một điểm gọi là điểm bán vô tỷ  nếu tọa độ x của điểm đó là số vô tỷ và tọa độ y của điểm đó  là số hữu tỉ

a) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm vô tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).

b) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm hữu tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).

c) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm  bán hữu tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).

Mình không hiểu bạn hỏi gì, ví dụ thế nào là một hàm chỉ đi qua những điểm vô tỷ? Theo định nghĩa của bạn một điểm $(x,y)$ là vô tỷ nếu $x,y$ đều vô tỷ nhưng một điểm $(x,f(x))$ hoàn toàn có thể lấy $x$ vô tỷ hoặc hữu tỷ, như vậy thì bạn vô tình thừa nhận tập xác định hàm $f$ của bạn là vô tỷ hoặc hữu tỷ.

 

Đó là một điểm, còn nữa, bạn thâm chí chẳng ghi ra tập nguồn và tập đích của $f$.

 

Nếu bạn sửa rằng tìm một hàm $f$ mà $f(x)$ nhận giá trị hữu tỷ/vô tỷ với mọi $x$ thì nghe còn hợp lý, khi đó bài toán này được giải nếu bạn đã học tính liên thông, i.e. hàm liên tục biến tập liên thông thành liên thông và liên thông trong $\mathbb{R}$ chỉ là khoảng hoặc nửa khoảng.

 

Mình nghĩ bạn nên học cách trình bày trước khi đặt câu hỏi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 31-05-2021 - 18:36

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh