Đến nội dung

Hình ảnh

Cho hai số A và B là 2 số hữu tỉ bất kì sao cho A>B. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số vô tỉ nằm giữa A và B

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

1) Cho hai số A và B là 2 số hữu tỉ bất kì sao cho A>B. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số vô tỉ nằm giữa A và B

2) Cho hai số A và B là 2 số vô tỉ bất kì sao cho A>B. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số hữu tỉ nằm giữa A và B


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 29-05-2021 - 12:31


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Câu 1 là kiến thức kinh điển của lớp 7: nếu $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$

Câu 2 là tính trù mật của $\mathbb{Q}$. Không cần thiết phải $A,B$ vô tỉ. Số thực bất kỳ cũng được. Chọn $n$ là một số nguyên sao cho $n > \frac{1}{A-B}$.

Xét các khoảng $I_k = [\frac{k}{n}; \frac{k+1}{n}[$ với $k$ là số nguyên bất kỳ. Ta chứng minh là $A,B$ không thể cùng thuộc một khoảng $I_k$ nào đó.

Thật vậy, giả sử tồn tại $k_0$ sao cho $A, B \in I_{k_0} \Rightarrow \frac{k_0}{n} \le B < A < \frac{k_0+1}{n} \Rightarrow 0 < A - B < \frac{1}{n} \Rightarrow n < \frac{1}{A-B}$: trái với cách chọn $n$ ban đầu.

Do đó $A,B$ phải lần lượt thuộc hai khoảng $I_k$ và $I_k'$ phân biệt ($k > k'$). Vì thế $A \ge \frac{k}{n} > B$ (đpcm).


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Câu 1 là kiến thức kinh điển của lớp 7: nếu $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$

Câu 2 là tính trù mật của $\mathbb{Q}$. Không cần thiết phải $A,B$ vô tỉ. Số thực bất kỳ cũng được. Chọn $n$ là một số nguyên sao cho $n > \frac{1}{A-B}$.

Xét các khoảng $I_k = [\frac{k}{n}; \frac{k+1}{n}[$ với $k$ là số nguyên bất kỳ. Ta chứng minh là $A,B$ không thể cùng thuộc một khoảng $I_k$ nào đó.

Thật vậy, giả sử tồn tại $k_0$ sao cho $A, B \in I_{k_0} \Rightarrow \frac{k_0}{n} \le B < A < \frac{k_0+1}{n} \Rightarrow 0 < A - B < \frac{1}{n} \Rightarrow n < \frac{1}{A-B}$: trái với cách chọn $n$ ban đầu.

Do đó $A,B$ phải lần lượt thuộc hai khoảng $I_k$ và $I_k'$ phân biệt ($k > k'$). Vì thế $A \ge \frac{k}{n} > B$ (đpcm).

Câu 1 hỏi số vô tỉ mà anh :))



#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Anh đọc nhầm :( Nhưng kỹ thuật cũng na ná: Giữa hai số thực $A, B$ ($A > B$) luôn tồn tại một số vô tỷ $C$. Anh tìm thấy một chứng minh đơn giản ở đây https://everything2....heorem%3A Proof

Dưới đây anh trình bày lại.

Bổ đề: Nếu $x,y$ là hai số hữu tỷ ($y \ne 0$) thì $x + y\sqrt{2}$ là số vô tỷ.

Đầu tiên, chọn số nguyên dương $m > 0$ sao cho $\sqrt{2} < m (A-B) \Rightarrow mB + \sqrt{2} < mA$.

Chọn số nguyên $n$ lớn nhất sao cho $n \le mB \Rightarrow n + \sqrt{2} \le mB + \sqrt{2} < mA$.

Đồng thời chú ý rằng $ n =\left \lfloor {mB} \right \rfloor \Rightarrow n \le mB < n + 1 < n + \sqrt{2}$.

Suy ra $mB < n + \sqrt{2} < mA \Rightarrow B < \frac{n}{m} + \frac{1}{m} \sqrt{2} < A$.

Theo bổ đề thì $\frac{n}{m} + \frac{1}{m} \sqrt{2}$ là số vô tỷ. Ta có đpcm.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Anh đọc nhầm :( Nhưng kỹ thuật cũng na ná: Giữa hai số thực $A, B$ ($A > B$) luôn tồn tại một số vô tỷ $C$. Anh tìm thấy một chứng minh đơn giản ở đây https://everything2....heorem%3A Proof
Dưới đây anh trình bày lại.
Bổ đề: Nếu $x,y$ là hai số hữu tỷ ($y \ne 0$) thì $x + y\sqrt{2}$ là số vô tỷ.
Đầu tiên, chọn số nguyên dương $m > 0$ sao cho $\sqrt{2} < m (A-B) \Rightarrow mB + \sqrt{2} < mA$.
Chọn số nguyên $n$ lớn nhất sao cho $n \le mB \Rightarrow n + \sqrt{2} \le mB + \sqrt{2} < mA$.
Đồng thời chú ý rằng $ n =\left \lfloor {mB} \right \rfloor \Rightarrow n \le mB < n + 1 < n + \sqrt{2}$.
Suy ra $mB < n + \sqrt{2} < mA \Rightarrow B < \frac{n}{m} + \frac{1}{m} \sqrt{2} < A$.
Theo bổ đề thì $\frac{n}{m} + \frac{1}{m} \sqrt{2}$ là số vô tỷ. Ta có đpcm.

Cảm ơn anh về lời giải :)), nhưng em có một thắc mắc liệu có cách nào để miêu tả toàn bộ những số hữu tỷ hay vô tỷ nằm giữa 2 số thực không anh nhỉ (em chỉ giỏi hỏi chứ làm em cũng không biết làm :)) )

#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Cảm ơn anh về lời giải :)), nhưng em có một thắc mắc liệu có cách nào để miêu tả toàn bộ những số hữu tỷ hay vô tỷ nằm giữa 2 số thực không anh nhỉ (em chỉ giỏi hỏi chứ làm em cũng không biết làm :)) )

Số hữu tỷ $\frac{m}{n}$ thì không khó. Quy đồng mẫu số rồi đưa về phần nguyên thôi.

Nhưng số vô tỷ thì khác. Bởi vì số vô tỷ không chỉ chứa những căn thức, gọi chung là số đại số (algebraic number), mà còn cả những số siêu việt (transcendental, ví dụ $\pi, e$).

Những số đại số là nghiệm của một đa thức có hệ số hữu tỷ, nhưng số siêu việt thì không. Và nói chung là chúng ta biết rất ít về số siêu việt :(

Em có thể coi một video khá hay của Numberphile về các tập hợp số:


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh