Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng AQ = AP

- - - - - hình học olympic

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Mrwhite320064

Mrwhite320064

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O).D,E,F lần lượt là trung điểm cạnh BC ,CA, AB. Đường tròn (AOD) cắt (O) tại điểm thứ hai là L.AL cắt đường tròn (AEF) tại K.KE,KF cắt BC lần lượt tại P,Q.Chứng minh rằng AQ = AP.

 

Bài 2 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O) sao cho B,C cố định và A là điểm di chuyển trên cung lớn BC của (O).T là trung điểm của BC.J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC.AJ cắt (O) tại điểm thứ 2 là D .$\left ( \omega \right )$  là đường tròn đường kinh JD.$\left ( \omega \right )$ cắt (O) tại điểm thứ 2 là K .Trung trực BJ cắt BK tại M.Trung trực CJ cắt CK tại N.Chứng minh rằng : M,N,J ,T thẳng hàng

 



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O).D,E,F lần lượt là trung điểm cạnh BC ,CA, AB. Đường tròn (AOD) cắt (O) tại điểm thứ hai là L.AL cắt đường tròn (AEF) tại K.KE,KF cắt BC lần lượt tại P,Q.Chứng minh rằng AQ = AP.

 

Bài 2 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O) sao cho B,C cố định và A là điểm di chuyển trên cung lớn BC của (O).T là trung điểm của BC.J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC.AJ cắt (O) tại điểm thứ 2 là D .$\left ( \omega \right )$  là đường tròn đường kinh JD.$\left ( \omega \right )$ cắt (O) tại điểm thứ 2 là K .Trung trực BJ cắt BK tại M.Trung trực CJ cắt CK tại N.Chứng minh rằng : M,N,J ,T thẳng hàng

Ta có $\angle BPE=\angle KEF=\angle BAK$ nên tứ giác AKPB nội tiếp. Tương tự tứ giác AKQC nội tiếp.

Hai tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại G.

GA cắt lại (O) tại L' thì tứ giác AL'OD nội tiếp. Suy ra $L\equiv L'$.

Từ đó tứ giác ABLC điều hòa.

Mặt khác $\angle OKA=90^o$ nên K là trung điểm của AL.

Theo tính chất tứ giác điều hòa ta có $\angle AKB=\angle BLC=\angle AKC$ nên $\angle APQ=180^o-\angle AKB=180^o-\angle AKC=\angle AQP$.

Vậy AP = AQ.



#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Gọi F là điểm chính giữa của cung BAC.

Ta có $\angle DKJ=\angle DKF$ nên J, K, F thẳng hàng.

Từ đó: $\angle BJM=\angle CBJ- \angle CBK=\frac{180^o-\angle ABC}{2}-\angle CFK=180^o-\angle FCJ-\angle CFK=\angle FJC$.

Mặt khác dễ thấy JT, JF đẳng giác nên J, M, T thẳng hàng.

Tương tự J, N, T thẳng hàng. Vậy J, M, N, T thẳng hàng.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học olympic

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh