Chủ đề này có 1 trả lời

[Aisha0303]

 Tìm tất cả nghiệm nguyên dương x,y,z thỏa mãn : 

     $x^{2}+2^{y+2}=5^{z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 02-06-2021 - 19:21
Tiêu đề

[PDF]

 Tìm tất cả nghiệm nguyên dương x,y,z thỏa mãn : 

     $x^{2}+2^{y+2}=5^{z}$

Từ giả thiết suy ra $x$ là một số lẻ nên $VT\equiv 1\pmod{8}$. Vì vậy ta có $z$ là một số chẵn.

Đặt $z=2z_{0}$ với $z_{0}$ là một số nguyên dương. Khi đó

$$2^{y+2}=(5^{z_{0}}-x)(5^{z_{0}}+x).$$

Suy ra $5^{z_{0}}-x$ và $5^{z_{0}}+x$ đều là lũy thừa của $2$. Tuy nhiên tổng của chúng lại không chia hết cho $4$ nên chúng không thể đồng thời chỉa hết cho $4$, kéo theo việc một trong chúng phải bằng $2$. Đương nhiên số nhỏ hơn-$5^{z_{0}}-x$ bằng $2$ và $5^{z_{0}}+x=2^{y+1}$.

Từ đó ta có $$5^{z_{0}}=2^{y}+1.\ (*)$$

Nếu $y\geq 3$ thì ta lại có $z_{0}$ chẵn. Đặt $z_{0}=2z_{1}$ với $z_{1}$ là một số nguyên dương. Khi ấy tương tự như trên ta cũng suy ra được $5^{z_{1}}-1=2$, mâu thuẫn.

Vậy $y\leq 2$. Mà $VT_{(*)}\geq 5$ nên $y\geq 2$. Vậy $y=2,z_{0}=1$. Từ đó tìm được $(x,y,z)=(3,2,2)$. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 02-06-2021 - 18:46