Chủ đề này có 3 trả lời

[Baoriven]

Tìm các bộ số $(a,b,c)$ với $a,b,c$ không âm sao cho:

\[ a^2+2b+c,b^2+2c+a,c^2+2a+b\]

là các số chính phương.

[Hunghcd]

Ko giảm tq,gs $a\geq b\geq c$

Khi đó,$(a+b+1)^2-(a^2+2b+c)=(b-1)^2+2ab+2b+2a-c$>$ 0$

$a^2+2b+c-(a+b-1)^2=b(2a-b)+4b+2a+2c-1> 0$

$\rightarrow a^2+2b+c=(a+b)^2\rightarrow 2b+c=2ab+b^2$ maf $a\geq b\geq c$$\rightarrow 2ab=2b ,c=b^{2}$

Đến đây xét trường hợp được (a,b,c) thuộc (0,0,0),(1,1,1)

P.S: em làm sai r   (bị nhầm dấu)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 03-06-2021 - 19:30

[Baoriven]

Thế còn bộ $(127,106,43)$ và các hoán vị ?

[gidosaisai]

Tìm các bộ số $(a,b,c)$ với $a,b,c$ không âm sao cho:

\[ a^2+2b+c,b^2+2c+a,c^2+2a+b\]

là các số chính phương.

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có

$4a+4>2b+c\geq 0$

$\Rightarrow a^{2}+4a+4>a^{2}+2b+c\geq a^{2}$

$\Rightarrow (a+2)^{2}>a^{2}+2b+c\geq a^{2}$

Mà $a^2+2b+c$ là SCP nên $a^2+2b+c=a^2$ hoặc $a^2+2b+c=(a+1)^2$

+)Nếu $a2+2b+c=a^2$

$\Rightarrow b=c=0$

$\Rightarrow a$ và $2a$ là SCP

$\Rightarrow a=0$

+)Nếu $a^2+2b+c=(a+1)^2$

$\Rightarrow 2b+c=2a+1 \Rightarrow 2a+1\leq 3b< 4b+1 \Rightarrow a< 2b$

Vì $2b+c=2a+1> 0$ nên $b>0$ hoặc $c>0 \Rightarrow a>0$

Ta có 

$b^2<b^2+2c+a<b^2+4b+4=(b+2)^2$

Mà $b^2+2c+a$ là SCP nên $b2+2c+a=(b+1)^2$

$\Rightarrow 2c+a=2b+1$

Vì $2b+c=2a+1 \Rightarrow 2b+1+c=2a+2$

$\Rightarrow 2c+a+c=2a+2\Rightarrow a=3c-2$

Mà $2c+a=2b+1$ nên $b=\frac{5c-3}{2}$

Do đó $c^2+2a+b=c^2+\frac{11c-7}{2}$ là SCP

Đặt $c^2+\frac{11c-7}{2}=x^2$($x$ là số tự nhiên)

$\Rightarrow 16c^{2}+88c-56=16x^{2}\Rightarrow (4c+11)^{2}-177=16x^{2} \Rightarrow (4c-4x+11)(4c+4x+11)=177$

Đến đây chắc là được rồi nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-06-2021 - 19:14
LaTeX