Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\geq1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cho $x,y,z$ là ba số dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2=3xyz$. Chứng minh:

$$\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\geq1$$.



#2
Velomi

Velomi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Áp dụng AM-GM ta có: $\frac{x^2}{y+2}+\frac{y+2}{9}\geq \frac{2}{3}x$. Tương tự như vậy, ta có: $VT\geq \frac{5}{9}(x+y+z)-\frac{2}{3}$

Từ GT suy ra: $3xyz\geq xy+yz+xz$$\Leftrightarrow 3\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Leftrightarrow x+y+z\geq 3$

Vậy $VT\geq 1$ khi $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Velomi: 04-06-2021 - 09:29

  • DBS yêu thích




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh