Chủ đề này có 3 trả lời

[mapdjtbeoidethuong]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc \geqslant 1$. Chứng minh rằng:

$$ \frac{a}{\sqrt{b+ \sqrt{ac}}} + \frac{b}{\sqrt{c+ \sqrt{ab}}} + \frac{c}{\sqrt{a+ \sqrt{bc}}} \geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$$

[Hunghcd]

đặt a,b,c là $x^{2},y^{2},z^{2}$

Dùng cô si sờ goát,rồi đổi biến p,q,r .Ta đi cm $\frac{p^4}{p^2-q}\geq \frac{27}{2}$(để ý p,q$\geq 3$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 05-06-2021 - 20:45

[mapdjtbeoidethuong]

đặt a,b,c là $x^{2},y^{2},z^{2}$

Dùng cô si sờ goát,rồi đổi biến p,q,r .Ta đi cm $\frac{p^4}{p^2-q}\geq \frac{27}{2}$(để ý p,q$\geq 3$)

Anh còn cách nào mà không dùng p,q,r không ạ?

[mapdjtbeoidethuong]

Em vừa nghĩ ra mọi người xem thử có đúng không ạ:

Ta có: $\sum \frac{a}{\sqrt{b+\sqrt{ac}}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{2b+2\sqrt{ac}}}\geqslant \frac{3}{2}$.

Mà:$\sum \frac{a}{\sqrt{2b+2\sqrt{ac}}}\geqslant \sum \frac{a}{\sqrt{2b+a+c}}=\sum \frac{2a}{\sqrt{4.(2b+a+c)}}\geqslant \sum \frac{4a}{a+2b+c+4}$

$=4\sum \frac{a^2}{a^2+2ab+ac+4a}\geqslant \frac{4(\sum a)^2}{\sum a^2+3\sum ab+4\sum a}=\frac{4(\sum a)^2}{(\sum a)^2+\sum ab+4\sum a}.$

Ta đi c/m: $\frac{4(\sum a)^2}{(\sum a)^2+\sum ab+4\sum a} \geqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow 8(\sum a)^2\geqslant 3(\sum a)^2+3\sum ab+12\sum a$

$\Leftrightarrow 5(\sum a)^2\geqslant 3\sum ab+12\sum a$.

Ta có:  $(\sum a)^2\geqslant 3\sum ab.$

            $\sum a \geqslant 3\sqrt[3]{abc}\geqslant 3 \Rightarrow (\sum a)^2\geqslant 3\sum a\Rightarrow 4(\sum a)^2\geqslant 12\sum a.$

Do đó ta có đpcm