Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của A = $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nguyenduckien054

nguyenduckien054

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Tìm GTNN của A = $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}$ với x, y là các số không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=2$

 

Cảm ơn các bác đã quan tâm !



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Lời giải.

Ta có: $A^2=x+y+2+2\sqrt{(x+1)(y+1)}=x+y+2+2\sqrt{xy+x+y+1}\geqslant x+y+2+2\sqrt{x+y+1}$ (Do $x,y$ không âm)

Vì $x,y$ không âm nên $x^2=2-y^2\leqslant 2\Rightarrow 0\leqslant x\leqslant \sqrt{2}\Rightarrow x(x-\sqrt{2})\leqslant 0\Rightarrow x^2\leqslant \sqrt{2}x$

Tương tự: $y^2\leqslant \sqrt{2}y$

Từ đó suy ra $\sqrt{2}(x+y)\geqslant x^2+y^2=2\Rightarrow x+y\geq \sqrt{2}$

$\Rightarrow x+y+2+2\sqrt{x+y+1}\geqslant \sqrt{2}+2+2\sqrt{\sqrt{2}+1}$

Vậy $A\geqslant \sqrt{\sqrt{2}+2+2\sqrt{\sqrt{2}+1}}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left ( x,y \right )\in \left \{ \left ( 0,\sqrt{2} \right );(\sqrt{2},0) \right \}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3
nguyenduckien054

nguyenduckien054

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Quá tuyệt, cảm ơn KietLW9 nhiều nhé!

 

À, chỗ này có thể thu gọn hơn chút $A\geq \sqrt{\sqrt{2}+2+2\sqrt{\sqrt{2}+1}}$ =$1+ \sqrt{\sqrt{2}+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduckien054: 07-06-2021 - 15:53





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh