Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm tất cả các số $n$ nguyên dương sao cho $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+1}]$ biết rằng $[x]$ là kí hiệu của phần nguyên của số thực $x$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt Nguyễn công trứ tphcm
  • Sở thích:xyz

Đã gửi 07-06-2021 - 18:15

1) Tìm tất cả các số $n$ nguyên dương sao cho $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+1}]$ biết rằng $[x]$  là kí hiệu của phần nguyên của số thực $x$ 

2) Cho $d$ là một số nguyên dương lớn hơn 1. Hỏi $d$ phải có tính chất gì để tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+d}]$.



#2 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-06-2021 - 18:51

1) Tìm tất cả các số $n$ nguyên dương sao cho $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+1}]$ biết rằng $[x]$  là kí hiệu của phần nguyên của số thực $x$ 

2) Cho $d$ là một số nguyên dương lớn hơn 1. Hỏi $d$ phải có tính chất gì để tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+d}]$.

1) Nếu đặt $\lfloor \sqrt{n}\rfloor =x$ thì tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $n=x^{2}+k$. Do tính lớn nhất của $x$ nên $0\leq k\leq 2x$.

Ta chỉ cần tìm điều kiện của $k$ là được.

Nếu $k=2x$ thì $n+1=(x+1)^{2}$ nên $\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor>\lfloor \sqrt{n}\rfloor$, không thỏa.

Vậy $0\leq k\leq 2x-1$ thỏa mãn đề bài. 

2) $0\leq k\leq 2x-k$



#3 Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt Nguyễn công trứ tphcm
  • Sở thích:xyz

Đã gửi 07-06-2021 - 20:01

1) Nếu đặt $\lfloor \sqrt{n}\rfloor =x$ thì tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $n=x^{2}+k$. Do tính lớn nhất của $x$ nên $0\leq k\leq 2x$.

Ta chỉ cần tìm điều kiện của $k$ là được.

Nếu $k=2x$ thì $n+1=(x+1)^{2}$ nên $\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor>\lfloor \sqrt{n}\rfloor$, không thỏa.

Vậy $0\leq k\leq 2x-1$ thỏa mãn đề bài. 

2) $0\leq k\leq 2x-k$

Bạn giải thích lại giúp mình đoạn in đỏ được không ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 07-06-2021 - 20:01


#4 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-06-2021 - 20:03

Bạn giải thích lại giúp mình đoạn in đỏ được không ?

Nếu $k\geq 2x+1$ thì $n\geq (x+1)^{2}=(\lfloor \sqrt{n}\rfloor +1)^{2}>n$. Để ý $x$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\sqrt{n}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 07-06-2021 - 20:03


#5 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1960 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 07-06-2021 - 21:51

1) Tìm tất cả các số $n$ nguyên dương sao cho $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+1}]$ biết rằng $[x]$  là kí hiệu của phần nguyên của số thực $x$ 

2) Cho $d$ là một số nguyên dương lớn hơn 1. Hỏi $d$ phải có tính chất gì để tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+d}]$.

1) $\left [ \sqrt{n} \right ]=\left [ \sqrt{n+1} \right ]=k\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k^2\leqslant n\leqslant k^2+2k\\k^2\leqslant n+1\leqslant k^2+2k \end{matrix}\right.$

    $\Leftrightarrow k^2\leqslant n\leqslant k^2+2k-1,\forall k\in\mathbb{N}^*\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}n\in\mathbb{N}^*\\n\neq k^2+2k\ (k\in\mathbb{N}^*) \end{matrix}\right.$

    Hoặc cũng có thể viết $\left\{\begin{matrix}n\in\mathbb{N}^*\\n\neq k^2-1\ (k\in\mathbb{N}^*) \end{matrix}\right.$

 

2) $\left [ \sqrt{n} \right ]=\left [ \sqrt{n+d} \right ]=k\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k^2\leqslant n\leqslant k^2+2k\\k^2\leqslant n+d\leqslant k^2+2k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow d\leqslant 2k=2\left [ \sqrt{n} \right ]$

    Vậy chỉ cần chọn $n$ là số chính phương thỏa mãn $n\geqslant \left ( \frac{d}{2} \right )^2$ thì ta sẽ có $\left [ \sqrt{n} \right ]=\left [ \sqrt{n+d} \right ]$

    Như vậy với bất kỳ số nguyên dương $d$ nào (không cần thêm điều kiện gì cả), luôn tồn tại $n$ sao cho

    $\left [ \sqrt{n} \right ]=\left [ \sqrt{n+d} \right ]$.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 08-06-2021 - 12:43

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh