1) Tìm tất cả các số $n$ nguyên dương sao cho $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+1}]$ biết rằng $[x]$ là kí hiệu của phần nguyên của số thực $x$
2) Cho $d$ là một số nguyên dương lớn hơn 1. Hỏi $d$ phải có tính chất gì để tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+d}]$.
1) $\left [ \sqrt{n} \right ]=\left [ \sqrt{n+1} \right ]=k\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k^2\leqslant n\leqslant k^2+2k\\k^2\leqslant n+1\leqslant k^2+2k \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow k^2\leqslant n\leqslant k^2+2k-1,\forall k\in\mathbb{N}^*\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}n\in\mathbb{N}^*\\n\neq k^2+2k\ (k\in\mathbb{N}^*) \end{matrix}\right.$
Hoặc cũng có thể viết $\left\{\begin{matrix}n\in\mathbb{N}^*\\n\neq k^2-1\ (k\in\mathbb{N}^*) \end{matrix}\right.$
2) $\left [ \sqrt{n} \right ]=\left [ \sqrt{n+d} \right ]=k\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k^2\leqslant n\leqslant k^2+2k\\k^2\leqslant n+d\leqslant k^2+2k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow d\leqslant 2k=2\left [ \sqrt{n} \right ]$
Vậy chỉ cần chọn $n$ là số chính phương thỏa mãn $n\geqslant \left ( \frac{d}{2} \right )^2$ thì ta sẽ có $\left [ \sqrt{n} \right ]=\left [ \sqrt{n+d} \right ]$
Như vậy với bất kỳ số nguyên dương $d$ nào (không cần thêm điều kiện gì cả), luôn tồn tại $n$ sao cho
$\left [ \sqrt{n} \right ]=\left [ \sqrt{n+d} \right ]$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 08-06-2021 - 12:43