Đến nội dung

Hình ảnh

$M=\sum \frac{a^2+4a+1}{a^2+a}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c\leq 3$. Tìm GTNN của biểu thức:

$$M=\frac{a^2+4a+1}{a^2+a}+\frac{b^2+4b+1}{b^2+b}+\frac{c^2+4c+1}{c^2+c}$$



#2
Hunghcd

Hunghcd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Ta có $a^2-2a+1\geq 0$$\rightarrow$$\frac{a^2+4a+1}{a^2+a}\geq \frac{6}{a+1}$

Tương tự,rồi dùng Cauchy-Schwarz ta được min P=9



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Lời giải.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $M=(\frac{3}{a+1}+\frac{3}{b+1}+\frac{3}{c+1})+\left [ \frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{b(b+1)}+\frac{1}{c(c+1)} \right ]+3\geqslant \frac{27}{a+b+c+3}+\frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+1)(b+1)(c+1)}}+3\geqslant \frac{15}{2}+\frac{3}{\sqrt[3]{\frac{(a+b+c)^3}{27}.\frac{(a+b+c+3)^3}{27}}}\geqslant 9$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh