Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c\leq 3$. Tìm GTNN của biểu thức:
$$M=\frac{a^2+4a+1}{a^2+a}+\frac{b^2+4b+1}{b^2+b}+\frac{c^2+4c+1}{c^2+c}$$
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $M=(\frac{3}{a+1}+\frac{3}{b+1}+\frac{3}{c+1})+\left [ \frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{b(b+1)}+\frac{1}{c(c+1)} \right ]+3\geqslant \frac{27}{a+b+c+3}+\frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+1)(b+1)(c+1)}}+3\geqslant \frac{15}{2}+\frac{3}{\sqrt[3]{\frac{(a+b+c)^3}{27}.\frac{(a+b+c+3)^3}{27}}}\geqslant 9$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh