Đến nội dung


Hình ảnh

$\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Shikamaru Nara

Shikamaru Nara

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 12-06-2021 - 21:52

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: abc=1

CMR:$\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)}\geq 9$

 



#2 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-06-2021 - 22:18

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: abc=1

CMR:$\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)}\geq 9$

BĐT tương đương với $$\sum \frac{1}{b+c}+5\sum \frac{b^{3}c^{3}}{b+c}\geq 9.$$

Áp dụng BĐT C-S:

$$\sum \frac{1}{b+c}\geq \frac{9}{2(a+b+c)};$$

$$5\sum \frac{b^{3}c^{3}}{b+c}=5\sum \frac{b^{2}c^{2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq \frac{5(bc+ca+ab)^{2}}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\frac{5(bc+ca+ab)}{2}\geq \frac{9}{2}+bc+ca+ab.$$

Cần chứng minh: $$bc+ca+ab+\frac{9}{2(a+b+c)}\geq \frac{9}{2}.$$

Áp dụng bổ đề $(bc+ca+ab)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$ có:

$$VT\geq x+\frac{27}{2x^{2}}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{27}{2x^{2}}\geq \frac{9}{2},$$

với $x=bc+ca+ab$.

Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 20-06-2021 - 22:18






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh