Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: mọi đa thức với hệ số thực và có bậc lớn hơn 2 đều khả quy trên $\mathbb{R}[x]$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

Chứng minh rằng mọi đa thức với hệ số thực và có bậc lớn hơn 2 đều khả quy trên $\mathbb{R}[x]$.



#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Theo định lý cơ bản của đại số thì mọi đa thức đều khả quy trên $\mathbb{C}[x]$. Do đó mọi đa thức $P(x)$ trên $\mathbb{R}[x]$ đều có thể viết dưới dạng $a(x-x_1)\ldots (x-x_n)$.

Tiếp theo, chỉ cần chứng minh rằng nếu $P(x)$ nhận $z_0$ phức là nghiệm thì cũng nhận $\overline{z_0}$ là nghiệm (*).

Do đó có thể nhóm các nghiệm phức thành cặp $(z_0; \overline{z_0})$.

Và khi đó chứng minh $(x-z_0)(x-\overline{z_0}) \in \mathbb{R}[x]$. Vậy là xong :D

 

Quan trọng là cái nhận xét (*) :)


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Mr handsome ugly

Mr handsome ugly

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

Theo định lý cơ bản của đại số thì mọi đa thức đều khả quy trên $\mathbb{C}[x]$. Do đó mọi đa thức $P(x)$ trên $\mathbb{R}[x]$ đều có thể viết dưới dạng $a(x-x_1)\ldots (x-x_n)$.

Tiếp theo, chỉ cần chứng minh rằng nếu $P(x)$ nhận $z_0$ phức là nghiệm thì cũng nhận $\overline{z_0}$ là nghiệm (*).

Do đó có thể nhóm các nghiệm phức thành cặp $(z_0; \overline{z_0})$.

Và khi đó chứng minh $(x-z_0)(x-\overline{z_0}) \in \mathbb{R}[x]$. Vậy là xong :D

 

Quan trọng là cái nhận xét (*) :)

$\overline{z_0}$  là gì vậy anh  :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 13-06-2021 - 15:28


#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

$\overline{z_0}$  là gì vậy anh   :))

Gọi là "liên hợp" đó em :) https://en.wikipedia...mplex_conjugate

Nếu $z_0 = a + bi (a,b \in \mathbb{R}$) thì $\overline{z_0} = a-bi$. Hiểu nôm na là đối xứng của $z_0$ qua trục $Ox$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh