Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi nhưng luôn thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \frac{1}{3}$
Tìm giá trị lớn nhất của tổng $\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+bc}}$
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi nhưng luôn thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \frac{1}{3}$
Bắt đầu bởi LongNT, 13-06-2021 - 14:33
#2
Đã gửi 13-06-2021 - 16:22
PDF
-
- Thành viên
-
- 197 Bài viết
Trung sĩ
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi nhưng luôn thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \frac{1}{3}$
Tìm giá trị lớn nhất của tổng $\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+bc}}$
Từ giả thiết ta có $a+b+c\leq 1$.
Sử dụng BĐT C-S ta có
$$P^{3}=VT^{3}\leq \left(\sum \frac{a}{\sqrt{a+bc}}\right)^{2}(a+b+c)\leq \left(\sum \frac{a}{\sqrt{a+bc}}\right)^{2}.$$
Mà $$\sum \frac{a}{\sqrt{a+bc}}\leq \sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\sum \left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{3}{2}$$
nên $P\leq \sqrt[3]{\frac{9}{4}}$.
Vậy $P_{max}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$. $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 13-06-2021 - 16:22
- KietLW9, Hoang72, Dang Hong Ngoc và 2 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
